Пример. Даны четыре точки: 
.
Найти: 1) уравнение прямой (
) в канонической форме;
2) уравнение прямой (R), проходящей через точку 
параллельно прямой ();
3) тупой угол 
между прямыми () и (
), т.е. 
4) уравнение плоскости (
);
5) угол 
между прямой () и плоскостью ();
6) уравнение прямой (L), проходящей через 
;
7) угол 
между плоскостью () и плоскостью (
);
8) уравнение плоскости (Q), проходящей через точку 
;
Решение.
1) На прямой АВ известны две точки, поэтому найдём её как прямую, проходящую через две точки:
(АВ): 
(АВ): 
- задание прямой в канонической форме,
причём её направляющий вектор 
.
2) Прямая 
.
Знаем одну точку на прямой 
и направляющий вектор этой прямой, поэтому прямую можно задать в канонической форме: 
.
3) Направляющий вектор (АВ): , а в качестве направляющего вектора (AD) можно использовать вектор 
.
Угол между этими прямыми найдём по формуле: 
,
Тогда 
.
4) Уравнение плоскости АВС, проходящей через три данные точки, можно найти по формуле:
.
Разложив определитель по первой строке, получим: 
.
(АВС): 
- уравнение плоскости (АВС) в общем виде,
причём 
-её нормальный вектор.
5) Угол между прямой (AD) и плоскостью (АВС) найдём по формуле
.
6) Найдём уравнение плоскости (ABD):
(ABD): 
Разложив определитель по первой строке, получим: 
.
(АВD): 
- уравнение плоскости (АВD) в общем виде,
причём 
- её нормальный вектор.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то её направляющим вектором может быть нормальный вектор плоскости, т.е. 
.
Теперь прямую L можно задать как прямую, проходящую через данную точку в данном направлении:
(L): 
.
7) 
.
. Косинус отрицательный, следовательно, угол – тупой.
8) Плоскость Q параллельна плоскости (ABD), поэтому нормальные векторы у них могут быть одинаковыми: 
.
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку С(6;8;13) перпендикулярно данному направлению: 
, где А, В, С – координаты нормального вектора плоскости Q.
Тогда (Q): 
.
Контрольная работа 1
Линейная алгебра
Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3
Задана своей расширенной матрицей.
Требуется:
Записать систему в канонической форме (в виде системы уравнений),
2) решить её методом полного исключения,
3) решить эту же систему по формулам Крамера, причём определители вычислять,
Используя их свойства.
| № | Расширенная матрица | № | Расширенная матрица |
| 1.01 | 
| 1.11 | 
|
| 1.02 | 
| 1.12 | 
|
| 1.03 | 
| 1.13 | 
|
| 1.04 | 
| 1.14 | 
|
| 1.05 | 
| 1.15 | 
|
| 1.06 | 
| 1.16 | 
|
| 1.07 | 
| 1.17 | 
|
| 1.08 | 
| 1.18 | 
|
| 1.09 | 
| 1.19 | 
|
| 1.10 | 
| 1.20 | 
|
Векторная алгебра
Даны координаты вершин пирамиды A, B, C, Q, причём точки A, B, C - вершины её основания.
Средствами векторной алгебры найти:
Векторы с началом в точке A и концом в остальных вершинах пирамиды;
2) длину этих векторов и направляющие косинусы вектора 
;
3) скалярное произведение векторов и 
4) угол между рёбрами и ;
5) векторное произведение векторов и 
;
