Тема 1.3 Преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы

Основные понятия и термины по теме: определение логарифма, основные свойства логарифмов, свойства степени с действительным показателем.

План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):

1. Свойства степеней с действительным показателем.

2. Определение логарифма.

3. Свойства логарифмов.

4. Десятичные и натуральные логарифмы.

Краткое изложение теоретических вопросов:

Основные свойства степеней приведены в теме 1.1

2. Логарифмом числа по основанию называют показатель степени, в которую нужно возвестио снование , чтобы получить число .

- основное логарифмическое тождество, где , ,

Основные свойства логарифмов.

При любом , и ,

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) - формула перехода к другому основанию

4. Логарифмы по основанию 10 называют десятичными и обозначают lg.

Натуральным логарифмом (обозначается ln) называется логарифм по основанию е:

Пример 1. Вычислить: а) ; б) ; в) ; .

Решение:

а) = = = = = = =

Ответ: .

б) = = = = = =

Ответ: 225.

в)) = = = = = = = =0,5

Ответ: 0,5.

г) = = .

Лабораторные работы/Практические занятия

Не предусмотрены

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Вычислите

Ответ: 6.

2. Вычислите: .

Ответ: 2.

3. Вычислите:

Ответ:7.

4. Найдите :

Ответ: .

Тема 1.4 Функции.

Основные понятия и термины по теме: определение функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность, четность, нечетность, линейная, квадратичная, показательная и логарифмическая функции.

План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):

1. Определение функции

2. Нули функции

3. Определение возрастающей функции

4. Определение убывающей функции

5. Определение четной функции

6. Определение нечетной функции

7. Основные виды функций

1. Функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу (закону)число у из множества Е, зависящее от х. Такое правило (закон) является функцией y=f(x) c областью определения D и областью значений Е.

При этом величину х называют независимой переменной (или аргументом функции), величину у - зависимой переменной (или значением функции).

2. Точка пересечения графика функции с осью ординат равна значению функции при х=0, т.е. Точки пересечения графика функции с осью абсцисс(их еще называют нулями функции) являются корнями уравнения =0.

3. Промежутки знакопостоянства функции – те значения переменной х, при которых функция принимает положительные () и отрицательные () значения.

4. Монотонность – возрастание или убывание функции. Функция y=f(x) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (т.е. если , то . Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (т. е. если , то .

5. Функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется, т.е. если для любого из ее области определения = .

График четной функции симметричен относительно ординат.

6. Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента значение функции также меняется на противоположное, т.е. если для любого из ее области определения =- .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

7.1. Функция заданная формулой (где ), называется показательной функцией с основанием .

Свойства показательной функции:

1) Область определения – множество R действительных чисел.

2) Область определения – множество R₊ всех положительных чисел.

3) При функция возрастает на всей числовой прямой; при

функция убывает на множестве R.

4) Основные свойства степеней приведены в теме 1.1

7.2.Функцию заданную формулой , называют логарифмической функцией с основанием .

Свойства логарифмической функции:

1) Область определения – множество всех положительных чисел R_+,

т.е D ()= R_+.

2) Область значений - множество всехдействительных чисел,

т.е. E ()= R_.

3) При функция возрастает на всей области определения; при

убывает.

Пример 1. Найти область определения функции у= log₂().

Решение:

Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R_+.

Поэтому заданная функция определена только для тех , при которых .

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как а=3, 3 .

Найдем нули функции:

D(f)=

Ответ:

Пример 2. Найдите область определения функции:

Решение:

По определению арифметического квадратного корня, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля. Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел. Таким образом, составим систему неравенств:

; ; ; ; значит