Основные понятия и термины по теме: определение логарифма, основные свойства логарифмов, свойства степени с действительным показателем.
План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):
1. Свойства степеней с действительным показателем.
2. Определение логарифма.
3. Свойства логарифмов.
4. Десятичные и натуральные логарифмы.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Основные свойства степеней приведены в теме 1.1
2. Логарифмом числа по основанию называют показатель степени, в которую нужно возвестио снование , чтобы получить число .
- основное логарифмическое тождество, где , ,
Основные свойства логарифмов.
При любом , и ,
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ;
6) - формула перехода к другому основанию
4. Логарифмы по основанию 10 называют десятичными и обозначают lg.
Натуральным логарифмом (обозначается ln) называется логарифм по основанию е:
Пример 1. Вычислить: а) ; б) ; в) ; .
Решение:
а) = = = = = = =
Ответ: .
б) = = = = = =
Ответ: 225.
в)) = = = = = = = =0,5
Ответ: 0,5.
г) = = .
Лабораторные работы/Практические занятия
Не предусмотрены
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Вычислите
Ответ: 6.
2. Вычислите: .
Ответ: 2.
3. Вычислите:
Ответ:7.
4. Найдите :
Ответ: .
Тема 1.4 Функции.
Основные понятия и термины по теме: определение функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность, четность, нечетность, линейная, квадратичная, показательная и логарифмическая функции.
План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):
1. Определение функции
2. Нули функции
3. Определение возрастающей функции
4. Определение убывающей функции
5. Определение четной функции
6. Определение нечетной функции
7. Основные виды функций
1. Функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу (закону)число у из множества Е, зависящее от х. Такое правило (закон) является функцией y=f(x) c областью определения D и областью значений Е.
При этом величину х называют независимой переменной (или аргументом функции), величину у - зависимой переменной (или значением функции).
2. Точка пересечения графика функции с осью ординат равна значению функции при х=0, т.е. Точки пересечения графика функции с осью абсцисс(их еще называют нулями функции) являются корнями уравнения =0.
3. Промежутки знакопостоянства функции – те значения переменной х, при которых функция принимает положительные () и отрицательные () значения.
4. Монотонность – возрастание или убывание функции. Функция y=f(x) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (т.е. если , то . Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (т. е. если , то .
5. Функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется, т.е. если для любого из ее области определения = .
График четной функции симметричен относительно ординат.
6. Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента значение функции также меняется на противоположное, т.е. если для любого из ее области определения =- .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
7.1. Функция заданная формулой (где ), называется показательной функцией с основанием .
Свойства показательной функции:
1) Область определения – множество R действительных чисел.
2) Область определения – множество R+ всех положительных чисел.
3) При функция возрастает на всей числовой прямой; при
функция убывает на множестве R.
4) Основные свойства степеней приведены в теме 1.1
7.2.Функцию заданную формулой , называют логарифмической функцией с основанием .
Свойства логарифмической функции:
1) Область определения – множество всех положительных чисел R+,
т.е D ()= R+.
2) Область значений - множество всехдействительных чисел,
т.е. E ()= R.
3) При функция возрастает на всей области определения; при
убывает.
Пример 1. Найти область определения функции у= log2 ().
Решение:
Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R+.
Поэтому заданная функция определена только для тех , при которых .
y=
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как а=3, 3 .
Найдем нули функции:
D(f)=
Ответ:
Пример 2. Найдите область определения функции:
Решение:
По определению арифметического квадратного корня, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля. Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел. Таким образом, составим систему неравенств:
; ; ; ; значит
Ответ:
Пример 3. Найдите область определения функции
Решение:
По определению арифметического квадратного корня имеем:
Т.к. , , то функция непрерывна и монотонно убывает на множестве R. Тогда
, значит
Ответ:
Пример 4. Найдите область определения функции
Решение:
Область определения задается системой неравенств:
;
1)
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем нули функции:
2)
Ответ: .
Лабораторные работы/Практические занятия
Не предусмотрены
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Найдите область определения функции:
а)
Ответ: .
б)
Ответ:
в)
Ответ: .