ОИ Р&Т = ОИР 
ОИТ; ОИРÚТ = ОИР 
ОИТ; ОИ`Р = ОИР; ОИРÞТ = ОИР ОИТ .
Доказательство. Докажем, например, первое равенство. Пусть аÎОИР&T, тогда Р(а)&Т(а)ºИ по определению, следовательно, Р(а)ºИ и Т(а)ºИ. Следовательно, аÎОИР и аÎОИТ, но тогда аÎОИР ОИТ.
Обратно: пусть аÎОИР ОИТ. Тогда аÎОИР и аÎОИТ , поэтому Р(а)ºИ и Т(а)ºИ; следовательно Р(а)&Т(а)ºИ, т. е. аÎОИР&T. Отсюда ОИР&T = ОИР ОИТ .
Определение. Предикаты Р и Т, имеющие одинаковые области определения, называются равносильными, если ОИР = ОИТ. Обозначение: Р(х) º Т(х). Предикат Т называется следствием предиката Р, если ОИР Ì ОИТ.
Пример. Предикат (Öх2 > 5) равносилен предикату (½х½> 5). Т.е. Öх2 > 5 º ½х½> 5.
Замечания. В школьной математике постоянно приходится иметь дело с различными предикатами. К ним относятся, например, уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, совокупности уравнений и неравенств и т. д. При этом школьная символика несколько отличается от выше приведённой. Вместо знака конъюнкции & употребляется фигурная скобка {, вместо знака дизъюнкции Ú - квадратная скобка [, вместо знака равносильности º - знак эквиваленции Û (что в общем то понятно, подумайте – почему?). Область истинности предиката (представленного уравнением, неравенством, системой уравнений и неравенств или совокупностью уравнений и неравенств) есть ни что иное, как множество решений соответствующего уравнения, неравенства и т.д.
Пример 1. Вместо (х + 2у = 3)&(2х – у = 1) º (х = 3 – 2у)&(6 – 5у = 1) º (х = 1)&(у = 1) в школе пишут:
х +2у = 3 х = 3 – 2у х = 1 2. Вместо (х2 – 2х –3 £ 0) Ú (çхç > 4) º
2х – у = 1 6 – 5у = 1 у = 1. (хÎ[-1, 3])Ú (xÎ(-¥,-4)È(4,+¥)) º (хÎ[-1, 3] È (-¥,-4)È(4,+¥) пишут
х2 – 2х – 3 £ 0 ó х Î[-1, 3] ó хÎ[-1, 3] È (-¥,-4)È(4,+¥).
çхç > 4 xÎ(-¥,-4)È(4,+¥)
Введём кванторные операции над предикататами.
Определение. Пусть предикат Р(х) определён на множестве М.
1. Символ "х(Р(х)) обозначает высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда для любого элемента аÎМ Р(а) º И, т.е. ОИр = М.
Символ $х(Р(х) обозначает высказывание истинное т. и т. т., к. хотя бы для одного элемента аÎМ Р(а) º И, т.е., когда ОИР ¹ Æ.
Символы " и $ называются квантором всеобщности и квантором существования соответственно. В первом случае говорят, что предметная переменная х связана квантором всеобщности, во втором – квантором существования.
Примеры 1."х (х – простое число & хÎN)ºЛ, т.к.,например, 4 – не является простым числом, однако 4ÎN.$х (х – простое число & хÎN) ºИ, т.к., например, 3 – простое число и 3ÎN.
Замечание. Для краткости выше приведённые высказывания можно записывать так: "хÎ N (х – простое число); $хÎ N (х – простое число).
2. "хÎ N (х2 ³ 0) º И и $хÎ N (х2 ³ 0) º И.
Связывая высказывания и предикаты операциями алгебры высказываний, будем получатьформулы логики предикатов: А Û Р(х), В & Q(x,y), $хÎ N (Р(х) Û Q(x,y)) и т.д. аналогично тому, как это сделано в алгебре высказываний, можно ввести понятие равносильных формул.
Все равносильности, имеющие место в алгебре высказываний, переносятся и на логику предикатов. Кроме равносильностей алгебры высказываний, в логике предикатов есть равносильности. Связанные с кванторами.
Теорема. 1. $х(Р(х)) Ú $х(Т(х)) º $х (Р(х)ÚТ(х)); "х(Р(х)) & "х(Т(х)) º "х(Р(х) & T(x)).
2. $х(Р(х)) º "х(Р(х)); "х(Р(х) º $х (Р(х)).
Доказательство. Докажем, например, равносильность 2. Пусть $х(Р(х)) º И. Тогда $х(Р(х)) º Л. Следовательно, для любого хÎМ (где М – ООР) Р(х) –ложное высказывание. А поэтому ØР(х) – истинное высказывание. Но тогда, по определению квантора ","х(ØР(х)) – истинно.
Пусть теперь $х(Р(х)) º Л. Тогда $х(Р(х)) º И, следовательно, существует хотя бы один элемент аÎМ такой, что Р(а)º И, а поэтому ØР(а) º Л, но тогда "х(ØР(х)) º Л. Т.о., формула 2 справедлива.
Иногда употребляется высказывание $!х(Р(х)), которое читается: «существует единственный х такой, что Р(х)» и истинное т. и т. т., к. есть только один элемент аÎМ такой, что Р(а)ºИ.
Используя эти равносильности, легко строить отрицания условий, содержащихся, например, в определениях. Пример :("хÎN $yÎN (x = 2y)) º $хÎN "yÎN (x ¹ 2y).
Определение ограниченной функции: Функция f называется ограниченной на множестве Х, если выполняется условие: $аÎ R+ ("xÎX(ïxï£ a)). Тогда условием неограниченности функции f на множестве Х является отрицание предыдущего условия: Ø($аÎ R+ ("xÎX(ïxï£ a)), которое согласно теореме примет вид: "аÎ R+ ($хÎX(ïxï> а). Аналогично строятся отрицания любых других формул с кванторами.
Можно сформулировать следующее правило для построения отрицаний формул логики предикатов, состоящее из трёх пунктов:
1. 
В формуле, отрицание которой мы строим, исключаются операции Þ, Û, $!, используя равносильности:
А Þ В º`АÚ В; А Û В º(`А Ú В)&(`В Ú А); $!х(Р(х) º $х(Р(х) & "у(Р(у) Ú х=у).
2. Каждую из операций &, Ú, ", $ заменим на двойственные: соответственно Ú, &, $, ".
3. Применим операцию отрицания к предикату, стоящему в скобках после кванторной приставки.
Если имеется необходимость, полученную формулу преобразуем равносильным образом к удобному для чтения виду. Для многих случаев удобна следующая формулировка правила, хорошо выражающая его сущность: Чтобы получить отрицание данного утверждения, надо в его символической записи каждый квантор заменить на двойственный, а предикат заменить на противоположный.
Упражнения.
1. а) луна есть спутник Марса;
б) как много у тебя хороших книг!
в) Земля – планета;
г) ученик 11 класса;
д) DАВС ¥ DА1В1С1 ;
е) Ö4 + Ö27 – 45;
ж) а > 0.
Определить, какие из этих предложений являются высказываниями.
2. Следующие высказывания записать в виде формул, заменив простые высказывания буквами:
а) если 80 не делится на 3 и делится на 2, то 80 не делится на 6;
б) произведение трёх чисел равно 0 т. и т. т., к. хотя бы одно из них равно 0;
в) число х0 является решением системы уравнений т. и т. т., к. оно является решением каждого уравнения системы;
г) если в треугольнике какая-то медиана не является высотой или биссектрисой, то этот треугольник не равнобедренный и не равносторонний;
д) 3 есть простое число, а 21 является составным числом;
е) если натуральное число является простым, то оно равно 2 или нечётно;
ж) если последовательность имеет конечный предел, то она сходится.
Определить какие значения имеют эти высказывания.
3. Доказать равносильности:
а) А Þ В º`АÚ В; б) А Þ В ºА &`В; в) А Û В º (А Þ В) & (В Þ А);
г) Ø(А Û В) º(А &`В)Ú(`А & В); д) А Þ В º`В Þ`А; е) А Û В º `В Û`А.
4. Для каждой из данных теорем сформулировать теоремы: прямую, обратную, противоположную, обратную противоположной, определить какие из теорем истинны.
а) если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны;
б) сумма углов треугольника равна 1800;
в) середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии;
г) если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм;
д) в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы;
е) диагонали прямоугольника равны;
ж) в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
5. Пользуясь теоремой Гаубера, доказать, что верны теоремы, обратные к следующим:
1) пусть а,в,сÎ R. Тогда при с > 0: а) если а > в, то ас > вс; б) если а = в, то ас = вс; в) если а < в, то ас < вс;
2) пусть а,в,с – длины сторон DАВС; тогда: а) если ÐА < ÐB, to a < в; б) если ÐА = ÐB,
то а = в; в) если ÐА > ÐB, то а > в;
3) пусть а,в,с – длины сторон DАВС; тогда: а) если а2 + в2< с2 , то ÐС – тупой;
б) если а2 + в2=с2 , то ÐС – прямой; в) если а2 + в2>с2 , то ÐС – острый.
6. Выяснить, какие из ниже следующих предложений можно рассматривать как предикаты при определённом выборе его ОО:
а) х2 – 2х – 15 = 0; б) при х = 5 выполняется равенство х2 – 2х – 15 = 0; в) х3 + у; г) существует число х, для которого выполняется равенство х2 – 2х – 15 = 0; д) точки А и В лежат по разные стороны от прямой а е) если х > 3, то х2 > 9; ж) целое число х при делении на у даёт остаток z; з) 5 – 3 = 2; и) Х – истинно; к) площадь фигуры Х равна у.
7. Даны предикаты на множестве N: Р(х) – (число х делится на 2); Q(x) – (x –число нечётное); R(x,y) – (х делится на у); S(x) – (число х – составное). Записать словами высказывания и выяснить, какие из них истинны, а какие ложны: Р(3); Р(6)&S(2); P(5)ÚQ(5); R(10,2); R(2,10); $x(P(x)ÚR(x,6)); "x(P(x)&$y(R(x,y)ÞP(x))); "x(Q(x)Þ"y(P(y)Þ(ØR(x,y))).
7. Даны предикаты на множестве М = {1,2,3, …,12}: H(x) – (x делится на 3); Р(х) – (х делится на 9); записать словами следующие предикаты и найти их области истинности:
а) Р(х)&Н(х); б) Р(х)ÚН(х); в) Н(х)ÞР(х); г) Р(х)ÞН(х); д) Н(х)ÛР(х); е)Н(х) ÞР(х);
8. Изобразить на числовой прямой ОИ следующих предикатов: Р(х); Т(х); Р(х)ÚТ(х); Р(х)&Т(х); Р(х)ÞТ(х); где а) Р(х) – (ôх + 2ô< 3); Т(х) – (х2 + х – 2 < 0); б) Р(х) – (х2 – 6х ³ -9); Т(х) – (11-1/х <1).
9. Изобразить на плоскости ХОУ ОИ предикатов, определённых на R:
а) х2 + у2 ³4; б) ху ³4; в) х2 - у2 =4; г) у ³ х2; д)÷х÷ = -÷у÷; е) (х2 –4)2 + (у2 – 9)2 = 0;
х2 + у2<9
10. Изобразить на плоскости ХОУ ОИ предикатов Р(х,у); Q(x,y); Р(х,у)& Q(x,y); Р(х,у)Ú Q(x,y); Р(х,у)Þ Q(x,y); Р(х,у)Û Q(x,y); где
а) Р(х,у): (х2 - у2 = 0); Q(x,y): (х2 + у2<9); б) Р(х,у): (х2 < у); Q(x,y): (y – x = 3);
в) Р(х,у): (у³2х); Q(x,y): (y > 1/x).
11. Записать предикат (и его отрицание), определяющий следующее понятие:
а) равенство множеств; б) окружность; в) рациональное число; г) параллелограмм; д) logab;
е) равносильность уравнений; ж) равнобочная трапеция.
12. Записать формулой логики предикатов следующие предложения (построить их отрицания):
а) существует равнобедренный прямоугольный треугольник; б) существует натуральное число которое делится на 2, 3, 5; в) имеется только одно действительное число, квадрат которого равен нулю; г) для любого действительного числа есть ему противоположное; д) для всякого рационального числа, отличного от 0, есть ему обратное; е) если произведение двух натуральных чисел делится на простое число, то на него делится по крайней мере один из сомножителей; ж) если целое число больше 1, то оно простое или составное.
Задачи.
1. 
Доказать равносильности:
а) А Þ В º А&`В; б) АÚ(В&В)ºА; в) А&В º`А Þ В; г) (АÚВ)Ú`С º АÚ(ВÚ`С); д) АÞ(ВÞС)ºВÞ (АÞС)
е) А&ВÞСº АÞ(ВÞС); ж) АÞ(В&С) º (АÞВ)& (АÞС); з) А&(ВÞС)º(А&`В)Ú(А&C);
и) АÞ(ВÚС)º (АÞВ)ÚС.
2. Доказать тавтологии:
а) (АÞС)& (ВÞС)Þ (АÚВÞС);
б) (АÞВ)& (ВÞС)Þ (АÞВ&С);
в) (АÛВ)& (ВÛС)Þ (АÛС);
г) (АÞВ)Þ((АÞ(ВÞС)) Þ(АÞС));
д) (АÞВ)Þ((А&C) Þ(В&С));
е) (АÞВ) Ú(ВÞА);
ж) (АÚВ)&`ВÞА;
з) (АÞВ)Þ(`ВÞ`А);
и) (`АÞВ)&(`АÞ`В) ÞА;
к) (АÛВ) Þ (АÞВ).
3. Для каждой из ниже следующих теорем сформулировать теоремы: обратную, противоположную, противоположную обратной и эквиваленцию. Установить какие из теорем верны.
а) в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
б) если сумма цифр целого числа делится на 9, то и само число делится на 9;
в) если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре;
г) диагонали равнобедренной трапеции равны;
д) параллелограмм имеет центр симметрии;
е) если а = с и в = d, то уравнение ах + в = сх + d имеет бесконечно много решений;
ж) если с = 0, то один из корней квадратного уравнения ах2 + вх + с равен 0;
з) в треугольник можно вписать окружность;
и) если произведение двух целых чисел есть число нечётное, то их сумма – число нечётное;
к) диагонали ромба перпендикулярны;
л) если функция f возрастает на интервале (а,в), то существует обратная к ней функция;
м) через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность;
н) если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой;
о) если оба числа а и в делятся на с, то и их сумма а + в делится на с;
п) если в четырёхугольник можно вписать окружность, то этот четырёхугольник – ромб;
р) если число оканчивается на0 или 5, то оно делится на 5;
с) площади подобных многоугольников относятся, как квадраты сходственных сторон;
т) в четырёхугольнике сумма углов равна 3600.
4. Предикаты Р(х) и Т(х) заданы на естественной области определения. Найти и изобразить на числовой прямой области истинности предикатов: Р(х); Т(х); ØР(х); Р(х)&Т(х); Р(х)ÚТ(х); Р(х)ÛТ(х); выяснить истинны или ложны высказывания: $х (Р(х)), "х (Т(х)), "х (Р(х)), $х (Т(х)), $х (Р(х)ÚТ(х)), "х (Р(х)ÚТ(х)), "х (Р(х)&Т(х)),$х (Р(х)&Т(х)), если:
а) Р(х): (Öх +2 > х), Т(х):Öх2 = |x|;
б) Р(х): (х4 –10х2 + 9=0), Т(х): (Öх2 < 0);
в) Р(х): (|x + 1| > 3), T(x): (х2 + 2х + 1 = (х + 1)2);
г) Р(х): (-х2 + 5х + 14 > 0), Т(х): (Öх2+1 < 0);
д) Р(х): (|x| =x), Т(х): (
> 1).
5. Предикаты Р(х,у) и Т(х,у) заданы на естественной области их определения. Изобразить на плоскости ХОУ области истинности предикатов Р, Т, Р&Т, РÚТ, РÛТ. Выяснить: истинны или ложны высказывания: "х"у(Р(х,у)), "х$у(Р(х,у)), $х"у(Р(х,у)), $х $у(Р(х,у)), тоже с предикатом Т.
а) Р: (у = х2), Т: (у>2х+1); б) Р: (х2 – у2³0), Т: (х2 + у2 ³ 9); в) Р: (у ³ х2), Т: (х2 + у2 ³4);
г) Р: (ху ³4); Т: (|x| >2); д) Р: (у ³ х3), Т: (у<х2); е) Р: (ху £ 0), Т: (х2 + у2 £ 16).
6. Записать формулой логики предикатов следующие утверждения, построить их отрицания и выяснить истинны ли записанные высказывания:
а) ни одно простое число не является точным квадратом;
б) все простые числа больше 1;
в) некоторые действительные числа являются рациональными;
г) все простые числа, большие 2, нечётные;
д) некоторые простые числа – чётные;
е) для любого целого числа найдётся такое целое число, что их сумма равна 0;
ж) существует чётное число, не делящееся на 4 и делящееся на 3;
з) существует параллелограмм не имеющий осей симметриии;
и) все числа, делящиеся на 30, делятся на 2, 3. и 5.
7. Применяя логическую символику, записать в виде формул следующие определения:
а) прямоугольник;
б) нечётная функция;
в) выпуклая фигура;
д) средняя линия трапеции;
е) точка минимума;
ж) ромб;
з) точка максимума;
и) корень n-ой степени из числа а;
к) периодическая функция;
л) составное число;
м) простое число.
