B1Þa1; …; bnÞan

Доказательство. Допустим, что какая-нибудь из обратных теорем, например, b_nÞa_n – ложна, тогда по определению импликации b_n – истинна, а a_n – ложна. Следовательно, по условию несовместности,ложны все высказывания b₁, b₂, …, b_n-1. Поэтому ложны все условия a₁, a₂, …, a_n-1 (по определению импликации и в силу истинности прямых теорем). Но тогда истинно высказывание a_n

(так как истинно a₁Úa₂Ú… Úa_n ), противоречие. Поэтому теорема b_nÞa_n – верна.

Пример. Пусть D = b² – 4ac – дискриминант квадратного трёхчлена ax²+bx+c. Известно, что верны теоремы:

1. Если D>0, то квадратный трёхчлен имеет два различных корня.

2. Если D<0, то квадратный трёхчлен не имеет корней.

3. Если D=0, то квадратный трёхчлен имеет один корень.

Условия этих теорем исчерпывают все возможные случаи: D>0, D=0, D<0. Каждое из заключений исключает все остальные. Следовательно, по теореме Гаубера верны обратные теоремы:

1. Если кв. трёхчлен имеет два различных корня, то D>0.

2. Если кв. трёхчлен имеет один корень, то D=0.

3. Если кв. трёхчлен не имеет корней, то D<0.

Большое место в математической теории занимает доказательство теорем. Доказательство есть конечная последовательность утверждений, каждое из которых является или условием теоремы, или аксиомой, или ранее доказанной теоремой, или получено из предыдущих членов этой последовательности посредством логических умозаключений, основанных на законах логики. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные методы математических доказательств. 1. Доказательство с помощью построения цепочки импликаций. Этот метод используется при доказательстве теорем, имеющих форму импликации: a Þ b. Строят последовательность истинных импликаций a Þ a₁,a₁ Þ a₂, _…, a_к Þ b, где a₁, a₂, …, a_к некоторые вспомогательные утверждения, возникающие в процессе доказательства. И если такая цепочка построена, то a Þ b - истинное утверждение, что вытекает из закона силлогизма: так как a Þ a₁ º И & a₁ Þ a₂ º И по построению цепочки и (a Þ a₁) & (a₁ Þ a₂) Þ (a Þ a₂) – закон силлогизма(т.е. º И ), то и a Þ a₂ º И. Двигаясь далее по цепочке, приходим к заключению: aÞb º И.

Используется обычно более короткая запись для этой цепочки импликаций: a Þ a₁Þ a₂Þa₃Þ … Þa_kÞb.

Пример: aÞb - «если число n составное, то n >2»; здесь: a - «число n составное», b -«n >2», a₁ - «n = p_1*p_2* …_*p_m и p₁,р₂, …,р_mÎ Р и m >1», a₂ - «n > 2_*3», здесь к = 2.

2. Необходимое и достаточное условия. В математике часто встречаются теоремы, имеющие форму эквиваленции: a Û b («a равносильно b», или «a тогда и только тогда, когда b», или «для того, чтобы a необходимо и достаточно, чтобы b»). Поскольку (a Û b) Û (a Þ b)&(b Þ a) тавтология, то доказательство такой теоремы сводится к доказательству двух теорем b Þ a и a Þ b, сформулированных уже в виде импликаций; доказательство первой из них называется доказательством достаточности исходной теоремы, а второй – необходимости. Будем использовать ещё два понятия: если aÞb º И, то a называется достаточным условием для b, а b необходимымусловием для a. Если же a Û b º И, то a называется необходимым и достаточным условием для b, и – наоборот: b для a называется необходимым и достаточным условием.