Экспресс – курс подготовки
К ЕГЭ по математике
Вашему вниманию предложены следующие темы:
- Преобразования степенных, иррациональных и логарифмических выражений.
- Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения.
- Показательные и логарифмические неравенства.
- Дробно-рациональные неравенства (метод интервалов).
Весь необходимый материал изложен кратко и просто. Все теоретические вопросы сопровождаются разобранными примерными заданиями ЕГЭ по математике. Задания на экзамене будут сформулированы, может быть, иначе, но решаться они будут по подобным алгоритмам и по тем же формулам.
Желаем успешной сдачи экзамена!
Степенные выражения
| Определения и свойства степени | Примеры |
Определения:
1) a 1 = а (а  R)
2 ) аn = а ∙ а ∙... a (а R, n N, n  0 ) 3) а 0=1 (а 0, а R)
4) а -n =  (а 0, а с R, n N)
5)  =  (n N, m Q, а >0)
|
(-1,7в)1 = -1,7в
(-1,7в)3 = (-1,7в) (-1,7в) (-1,7в) = -4,913
(—1,7 в)0=1, если в 0
(—0,25) -3 =  = (-4)3 = 64
 =  =  =  = 8
|
| Свойства: | Примеры |
|
m1,5 ∙ m-2 = m1,5+(-2)= m-0,5
l,53х.1,5 -0,5х= 1,52,5х
 =(0,25)-2 = 42 = 16
(5х)2 = 52х = (52)х = 25х
m1,5: m-2 = m1,5-(-2)= m3,5
l,53х : 1,5 -0,5х= 1,53,5х
32х · 52х = (3∙5)2х =152х
 =34=81
|
| Свойства арифметических корней n-степени | Примеры |
1) Если а  0, b≥0. то  =  · 
| 
|
2) Если а 0, b>0. то  =· 
|  =  =   =  =3
|
3) Если а 0, n N, k N, то  = 
|  -3  =  -3 =-2
|
4) Если а 0, n N, k N, то  = 
|  = 
|
5) Если а 0, n N, k N, то = 
| 
|
Преобразования степенных и иррациональных выражений
Пример 1. Вычислите: 4∙ 
+ 0,50.
Решение.
Первый способ. Используя определения степени с нулевым и дробным показателями, получаем: 4∙ + 0,50 =4· 
+1 = 4∙3+1= 13.
Второй способ. Используя определения степени с натуральным и нулевым показателями и свойства степеней, получаем: 4∙ + 0,50 =4∙ 
+1= 4∙ 
+ 1 = 4∙3+1= 13
Ответ 13.
Пример 2. Найдите значение выражения 
.
Решение. Учитывая, что 81 = 27·3, а 24 = 8·3, и используя формулу = · , получим: = 
= 3 
=3 
= 
Ответ: .
Пример 3. Упростите выражение 
.
Решение. 
= 
= 
= 
= 
= 
Ответ:
Пример 4. Выполните действия: (
)2 
.
Решение. Используя определение степени с дробным показателем = (n N, m Q, а >0), а также свойства степеней (ах)у = аху, ах · ау = ах+у, получаем:
()2 = 
· 
= 
· = 
= 
Ответ:
Пример 5. Выполните действия: 
Решение. = 
= 
= 
= 
Ответ: .
Пример 6. Упростите выражение 
Решение. = 
= 
= 
=3а
Ответ:3а.
Иррациональные уравнения
Иррациональные уравнения, встречающиеся на экзамене, чаще всего решаются методом возведения в степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, или заменой неизвестного. Не следует забывать, что в степень возводятся обе части уравнения.
Так как при возведении в степень обеих частей уравнения новое, получившееся после
этой операции уравнение, не всегда равносильно искомому, то нужно либо делать проверку, либо с самого начала выписывать неравенства, задающие область допустимых значений неизвестной величины. При осуществлении проверки значение неизвестной являющееся решением необходимо подставлять только в первоначальное уpaвнение, а не в какие-то промежуточные.
Рассмотрим применение некоторых методов решения иррациональных уравнений.
Пример 1. Решите уравнение 
= 2х + 5.
Решение. Возведем исходное уравнение = 2х + 5 в степень, равную показателю корня ()2 = (2х + 5)2 5 - 4х =4х2+ 20х+25 4х2 + 24х + 20 = 0;
х2 + 6х + 5 = 0; х = -5 или х = -1.
Проверка. х = -5: 
= 2·(-5) + 4
= -5
Это неверное числовое равенство, значит, число -5 не является корнем данного уравнения.
х = - 1: 
= 2·(-1) + 4
= 3
Это верное числовое равенство, значит, число -1 является корнем данного уравнения.
Показательные и логарифмические неравенства
Пример 2. Решите неравенство 4х ≥ 
Решение. Так как = 2-1 и 4х = 22х, то исходное неравенство равносильно неравенству 22х≥2-1. Функция у = 2х возрастающая, т, к. 2 > 1. Поэтому полученное неравенство, а значит, и исходное, равносильно неравенству 2х ≥ -1, то есть х ≥ -0,5.
Ответ: 3.
Пример 3. Найдите число целых отрицательных решений неравенства 
.
Решение. Неравенство равносильно неравенству 
Поскольку 
<1, то функция у = 
убывает, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству 0.5х - 1 -3. Отсюда получаем х -4. Целыми отрицательными решениями неравенства являются четыре числа: -4, -3, -2, -1.
Ответ:4.
Пример 4. Найдите число целых решений неравенства lоg 0,5(х - 2) -2.
Решение. Запишем правую часть неравенства как произведение -2 ∙1 и воспользуемся тождеством 1 = lоg bа, при условии а = 0,5.
Получим:
1оg0,5(х - 2) -2. 1; 1оg 0,5(х - 2) -2 1оg 0,5 0,5;
1оg0,5(х - 2) 1оg 0,5 0,5-2; 1оg 0,5(х - 2) lоg 0,5 4.
Поскольку 0,5 < 1, то функция у = 1оg 0,5х убывающая, поэтому полученное неравенство, а значит, и исходное неравенство, равносильно неравенству 0 < х-2 
4 (условие 0 < х - 2 получено с учетом области определении логарифмической функции).
Отсюда получаем 2 < х 6. Следовательно, х принимает 4 целых значения: 3; 4; 5; 6.
Ответ: 4.
Пример 5. Решите неравенство ln (х- 1) < ln (3х+ 2).
Решение. Т. к. е > 1, то функция у = ln х возрастающая, следовательно, данному неравенству равносильна система неравенств
х - 1 < 3х+2, 2х > -3 х >1,5
х - 1 > 0 х > 1 х >1
Итак, решения неравенства составляют интервал (1;+ 
)
Ответ: (1; + )
Дробно-рациональные неравенства (метод интервалов)
Пример 6. Решите неравенство 
Решение. Найдем значения переменной, при которых дробь равна нулю: 3х — 6 = 0, х =2. Найдем значения переменной, при которых дробь не имеет смысла: (х — 6) (х + 6) = 0,
х = 
. Отметим на координатной прямой найденные числа:
-6 2 6 х
На каждом из получившихся промежутков определим знак значений дроби:
при х = 7 имеем 
> 0; при х = 5 имеем 
< 0
при х = 0 имеем 
> 0; при х = -7 имеем 
< 0.
Отметим эти данные на рисунке
- + - +
-6 2 6 х
Дробь принимает неположительные значения на промежутках (- ;-6) 
[ 2; 6 ]
Ответ: (- ;-6) [ 2; 6 ]
Пример 7. Вычислите сумму всех натуральных решений неравенства 
0
Решение. х - 2 = 0, х = 2
(х - 5)(3х -12) = 0, х =5 или х = 4
2 4 5 х
На крайнем правом промежутке дробь принимает положительные значения, т. к. 
> 0. совпадающих корней у числителя и знаменателя дроби нет, значит, на полученных промежутках знаки чередуются (см. рис.).
- + - +
2 4 5 х
Решением неравенства будет объединение промежутков (- ;2] (4;5). На этих промежутках находятся два натуральных сила 1 и 2. Сумма этих чисел 1 + 2 = 3
Ответ: 3.
