Принцип сжимающих отображений в нормированных векторных пространствах

Отображения в нормированных векторных пространствах

 

Отчет по лабораторной работе №4

(«Функциональный анализ»)

Студента 3 курса 6 группы

 

Работа сдана 1 декабря 2010 г. Преподаватель:

__ зачтена ____________2010 г. Чеб Елена Сергеевна

доцент кафедры МФ,

----------------------------------------- кандидат физ.-мат.наук

(подпись преподавателя)

Минск 2010

СОДЕРЖАНИЕ

Теория………………………………………………………………………………………………..3

Задание 1…………………………………………………………………………………………….5

Задание 2…………………………………………………………………………………………….6

Задание 3…………………………………………………………………………………………….8

Задание 4…………………………………………………………………………………………….8

 

 

 

 

Теория

Принцип сжимающих отображений в нормированных векторных пространствах.

Пусть в банаховом пространстве Е действует отображение f. Точка x* называется неподвижной точкой отображения f, если .

Таким образом, неподвижные точки отображения f – это решение уравнения .

Будем говорить, что отображение f является сжимающим (сжатием), если существует постоянная такая, что выполняется неравенство для всех . Число α называется коэффициентом сжатия.

Теорема 1 (принцип сжимающих отображений). Пусть f отображает замкнутое в банаховом пространстве E множество M на себя и является на M сжимающим с коэффициентом сжатия α. Тогда в M отображение f имеет единственную неподвижную точку , которая может быть найдена методом последовательных приближений по формуле , где и при . Кроме того, справедлива оценка скорости сходимости

.

Следствие 1. Пусть f отображает банахово пространство E само на себя и является сжатием. Тогда f имеет в E единственную неподвижную точку.

Следствие 2. Пусть f определено на шаре , где E – банахово пространство. Пусть f является на сжатием с коэффициентом α и при этом выполнено условие . Тогда в шаре существует единственная точка отображения f, которая может быть найдена методом последовательных приближений.

Теорема 2. В пространстве непрерывное отображение замкнутого шара на себя имеет неподвижную точку.

Теорема 3. Пусть f отображает замкнутое множество M⊂E на себя и при некотором отображение является на M сжатием. Тогда в M существует единственная неподвижная точка f.

Следствие 3. Пусть f отображает замкнутое выпуклое множество M⊂E на себя, причем на M оно непрерывно дифференцируемо и . Тогда справедливы утверждения теоремы 3.

Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям.

Рассмотрим интегральное уравнение вида

(1)

Здесь - заданные функции; K(t,s,x(s)) – заданная функция, называемая ядром интегрального уравнения; x(t) – неизвестная функция.

Решение разыскивается в различных пространствах функций в зависимости от свойств функции K(t,s,z) и y. Пространства выбираются так, чтобы интеграл в (1) существовал. Уравнение (1) называется интегральным уравнением Фредгольма. Если , то уравнение (1) называется интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода, соответственно при - 2-го рода и при - уравнением 3-го рода. Интегральное уравнение (1) называется линейным, если функция K(t,s,z) линейна по z. Если , то уравнение (1) называется однородным.

Уравнение вида

, (2)

Называется интегральным уравнением Вольтерра. Уравнение Вольтерра является частным случаем уравнения Фредгольма.

Решением уравнений (1) и (2) называется функция , при подстановке которой в уравнение выполняется равенство для всех или почти всех. Линейное однородное уравнение всегда имеет решение .

Остановимся на применении метода последовательных приближений к интегральным уравнениям 2-го рода.

Рассмотрим линейное неоднородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:

. (3)

Теорема 4. Пусть K(t,s) – непрерывная функция на и , тогда для любого параметра λ такого, что

, интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода (3) имеет единственное непрерывное решение для любой правой части .

Рассмотрим нелинейное уравнение Фредгольма 2-го рода:

. (4)

Теорема 5. Пусть K(t,s,z) – непрерывная функция переменных t,s,z, удовлетворяющая условию Липшица по z, то есть существует постоянная

L > 0 такая, что . Если выполнено условие L(b-a)|λ|<1, то интегральное уравнение (4) имеет единственное непрерывное решение для любой функции .

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение Вольтерра

. (5)

Теорема 6. Пусть K(t,s) – непрерывная функция по переменным t и s. Тогда для любой функции и любого параметра λ интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода (5) имеет единственное непрерывное решение.