Двоичная система счисления

Представление информации с помощью двоичного кодирования наиболее оптимально для ЭВМ, так как данные в ЭВМ передаются по проводам с помощью двух сигналов "Есть напряжение" и "нет напряжения". Поскольку все данные в ЭВМ кодируются числами, то для передачи их по проводам необходимо применять двоичную систему.

 

Двоичная система имеет основание р=2 и базу 0 и 1. То есть, для изображения числа используются только два знака. Попробуем посчитать в десятичной системе, а затем в двоичной системе.

 

 

10-я	2-я	10-я	2-я	10-я	2-я	10-я	2-я

 

Правила перевода из десятичной в двоичную систему.

Для перевода десятичного числа в двоичную систему отдельно переводят дробную и целую части.

 

Чтобы перевести целое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнять последовательное деление числа на 2 до тех пор, пока результат не станет меньше 2. Последний результат и остатки от деления, взятые в обратном порядке дают двоичное число.

Например:

В результате 165₁₀=10100100₂.

 

Для перевода правильной дроби из 10-системы счисления в 2-ю СС нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание 2, представленное в старой 10-системе. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в 2-ой системе счисления.

 

 

Правила перевода из двоичной в десятичную систему.

Для перевода необходимо разложить число по основанию системы счисления и посчитать результат.

Например,

 

Арифметические операции в двоичной системе.

Сложение двоичных чисел происходит аналогично сложению чисел в десятичной системе. Необходимо помнить, что использовать можно только две цифры 0 и 1, следовательно, нужно помнить соотношения

2₁₀=10₂

3₁₀=11₂

4₁₀=100₂

5₁₀=101₂

6₁₀=110₂

7₁₀=111₂

 

Например,

 

101001,110₂+

110,011₂ =

110000,001₂

 

101010,1111₂+

1011,1101₂ =

110110,1100₂

 

Если в результате промежуточного действия, которое человек автоматически выполняет в десятичной системе получилось число большее единицы, то его необходимо перевести в двоичную систему. Так в первом примере складывает справа налево 0+1=1, 1+1=2₁₀=10₂. Следовательно, в результате оставляем 0 (правый разряд результата), а 1 (левый разряд результата) запоминаем в следующем разряде и т.д.

 

Умножение двоичных чисел происходит также, как и для десятичных, только используются две цифры 0 и 1. Например, умножаем двоичные числа:

1001,1

110,1

10011

11110,111

Таким образом, умножение двоичных чисел сводится к сдвигу и сложению.

 

Системы счисления родственные двоичной.

 

Введение.

На ранних этапах развития вычислительной техники программы писали в машинных кодах, то есть без использования языков программирования. Для обозначение кодов операций машина оперирует с довольно длинными двоичными числами. Программисту трудно было работать с таким количеством знаков. Поэтому стали использовать системы счисления, которые с одной стороны относительно малозначны. А с другой обеспечивают легкий перевод чисел в двоичную систему и обратно. Такими системами являются системы, родственные двоичной.

Система называется родственной двоичной, если ее основание является степенью числа 2. К таким системам относятся четверичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Мы рассмотрим восьмеричную и шестнадцатиричную системы.

 

 

Восьмеричная система.

Основание р=8. База — цифры от 0 до 7.

Посчитаем в восьмеричной системе и сравним ее с десятичной.

10-я	8-я	10-я	8-я	10-я	8-я	10-я	8-я

 

Поскольку двоичная и восьмеричная системы являются родственными, каждая цифра восьмеричной системы может быть переведена в двоичную систему независимо от остальных цифр. Для этого нужно составить таблицу соответствия цифр восьмеричной системы двоичным числам, только двоичные числа должны быть представлены в виде триад, то есть совокупности из трех цифр.

 

2-а	8-я	2-я	8-я

 

Для восьмеричного числа перевода в двоичную систему нужно каждую цифру представить ее двоичным эквивалентом согласно таблице.

Пример: 567,23₈=101 110 111, 010 011₂.

 

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему необходимо разделить число по триадам от запятой вправо и влево и каждую триаду представить восьмеричной цифрой согласно таблице. При необходимости слева до запятой и справа после запятой можно дописывать незначащие нули.

Пример: 1110100,111101₂=001 110 100 111 101₂=164,75₈.

 

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную необходимо выполнить последовательное деление на 8 до тех пор, пока результат не станет меньше 8. Последний результат и остатки, взятые в обратном порядке дадут восьмеричное число.

Пример: 986₁₀=1732₈.

 

Для перевода правильной дроби из 10-системы счисления в 8-ю СС нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание 8. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в 8-ой системе счисления.

 

Для перевода восьмеричного числа в десятичную систему необходимо разложить его по степеням основания системы 8 и выполнить сложение.

Пример: