Все системы делятся на позиционные и непозиционные.
В непозиционных системах каждая цифра имеет свой вес и ее значение не зависит от положения в числе — от позиции. Пример — римская система. Скажем, число 76 в этой системе выглядит так:
LXXVI, где L=50, X=10, V=5, I=1.
Как видно цифрами здесь служат латинские символы.
В позиционных системах значения цифр зависят от их положения (позиции) в числе.
Так, например, человек привык пользоваться десятичной позиционной системой — числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни и т.д.
В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.
Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число.
,
а теперь с дробью
Обобщим это представление на случай использования другого набора цифр.
Основанием системы счисления называется количество цифр и символов, применяющихся для изображения числа. Например р=10.
База системы — это последовательность цифр, используемых для записи числа. Ни в одной системе нет цифры, равной основанию системы.
В настоящее время арифметические действия выполняются в десятичной системе, где р=10.
База этой системы 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.
При обработке информации используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы, которые применяются для сокращения длины записи при кодировании программы и плотного размещения данных в памяти машины.
Установлено, что, чем больше основание СС, тем компактнее запись числа. Так двоичное изображение числа требует примерно в 3,3 раза большего количества цифр, чем его десятичное представление. Рассмотрим два числа: 97D = 1100001В. Двоичное представление числа имеет заметно большее количество цифр.
Несмотря на то что десятичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных (цифровых) элементах, так как реализовать элементы с десятью четко различимыми состояниями сложно. В другой системе счисления могут работать приборы декатрон и трохотрон. Декатрон — газоразрядная счетная лампа — многоэлектродный газоразрядный прибор тлеющего разряда для индикации числа импульсов в десятичной СС.
Указанные устройства не нашли применения для построения средств ВТ. Историческое развитие вычислительной техники сложилось таким образом, что цифровые ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств (триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т. п.).
Шестнадцатеричная и восьмеричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов— команд, данных, адресов и операндов. Перевод из двоичной СС в шестнадцатеричную и восьмеричную СС (и обратно) осуществляется достаточно просто.
Задача перевода из одной системы счисления в другую часто встречается при программировании и особенно часто при программировании на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти, для получения двоичного или шестнадцатеричного эквивалента десятичного числа. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, HTML и Си требуют задания параметров в шестнадцатеричной системе счисления. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с шестнадцатеричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ практически невозможно без представлений о двоичной системе счисления.Без двоичной СС невозможно понять принципы криптографии и стеганографии.
