Дифференциальные уравнения первого порядка
Лекции.Орг

Поиск:


Дифференциальные уравнения первого порядка




Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1).

Решив уравнение (1) относительно , если это возможно, получим:

(2).

Общим решениемдифференциального уравнения первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям:

1. Функция является решением дифференциального уравнения при каждом фиксированном значении С.

2. Каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной .

С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых плоскости Оху; частное решение - одна кривая этого семейства, проходящая через точку .

Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Справедлива следующая теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (2).

Теорема (Коши). Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости хОу, содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию .

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через точку .

 

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение:Уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Решение: .

Разделив обе части на , получим:

.

Проинтегрировав, обе части уравнения, получим:

.

Пример. Найти общий интеграл уравнения: .

Решение: ,

,

Разделим обе части уравнения на , получим:

,

проинтегрируем обе части

,

Ответ: .

Однородные дифференциальные уравнения

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение: Функция называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , т е.

Например, функция есть однородная функция четвертого порядка, поскольку

Определение: Дифференциальное уравнение

называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.

Это уравнение приводится к виду , и решается подстановкой или и .

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме

,

где и - однородные функции одинакового порядка.

 

Пример. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции и - однородные функции второго порядка.

Положим ,тогда . Подставляем в исходное уравнение:

,

 

,

 

,

 

.

Разделим, и левую, и правую стороны на , получаем:

,

отсюда, интегрируя, находим

 

,

,

.

Подставляя , получим общий интеграл исходного уравнения:

,

 

Ответ: .





Дата добавления: 2015-10-27; просмотров: 715 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.005 с.