Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1).

Решив уравнение (1) относительно , если это возможно, получим:

(2).

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям:

1. Функция является решением дифференциального уравнения при каждом фиксированном значении С.

2. Каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной .

С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых плоскости Оху; частное решение - одна кривая этого семейства, проходящая через точку .

Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Справедлива следующая теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (2).

Теорема (Коши). Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости хОу, содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию .

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через точку .

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение: Уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Решение:.

Разделив обе части на , получим:

Проинтегрировав, обе части уравнения, получим:

Пример. Найти общий интеграл уравнения: .

Решение: ,

Разделим обе части уравнения на , получим:

проинтегрируем обе части

Ответ: .

Однородные дифференциальные уравнения

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение: Функция называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , т е.