Производная
Определение: Производной функции 
в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю
.
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции; функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой в данной точке.
Эквивалентные обозначения производной:
.
Основные правила дифференцирования:
1. 
.
2. 
3. 
4. 
5. 
Таблица производных:
1. 
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
Пример. Найти производную функции 
.
Решение: 
.
Пример. Найти производную функции 
Решение: 
Пример. Найти производную функции 
.
Решение: 
.
Пример. Найти производную функции 
.
Решение: 
Пример. Найти производную функции 
Решение: 
Пример. Найти производную функции 
.
Решение: 
Пример. Найти производную функции 
.
Решение: 
Производная сложной функции
Сложная функция – это функция от функции.
В записи 
x называется независимой переменной,
u – промежуточным аргументом; u(x) – внутренняя функция;
f – внешняя функция.
Производная сложной функции равна производной от внешней функции по промежуточному аргументу, помноженной на производную внутренней функции:
.
Таблица производных для сложных функций:
1. 
. 1.1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
Во всех формулах u является некоторой функцией от х.
Пример. Найти производную функции 
.
Решение: Данная функция является сложной. Её можно представить в виде цепочки «простых» функций 
, где 
. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
Пример. Найти производную функции 
Решение: 
Пример. Найти производную функции 
.
Решение:.
Пример. Найти производную функции 
Решение: 
Пример. Найти производную функции 
.
Решение: 
Пример. Найти производную функции 
Решение: 
Пример. Найти производную функции 
Решение: 
Пример. Найти производную функции 
Решение: 
Пример. Найти производную функции 
Решение: 
=
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1–50. Вычислить производные от заданных функций:
Указание: Студентам не рекомендуется увлекаться упрощением выражений, полученных в результате дифференцирования, так как основная цель этой главы заключается в освоении техники дифференцирования, а не в проверке умения производить тождественные преобразования.
1) 
. 2) 
.
3) 
. 4) 
.
5) 
. 6) 
.
7) 
. 8) 
.
9) 
. 10) 
.
11) 
. 12) 
.
13) 
. 14) 
.
15) 
. 16) 
.
17) 
. 18) 
.
19) 
. 20) 
.
21) 
. 22) 
.
23) 
. 24) 
.
25) 
. 26) 
.
27) 
. 28) 
.
29) 
. 30) 
.
31) 
. 32) 
.
33) 
. 34) 
.
35) 
. 36) 
.
37) 
. 38) 
.
39) 
. 40) 
.
41) 
. 42) 
.
43) 
. 44) 
.
45) 
. 46) 
.
47) 
..48) 
.
49) 
. 50) 
.
Неопределенный интеграл
Определение: Неопределенным интегралом 
называется функция 
, содержащая произвольное постоянное С, дифференциал которой равен подынтегральному выражению 
,
т.е 
, если 
.
Основные свойства неопределенного интеграла
1. 
.
2. 
.
3. 
.
Таблица основных интегралов
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.
Примеры: Найти интегралы:
1) 
;
2) 
.
Решение: 1) Разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:
.
2) Разделив почленно числитель на знаменатель, разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:
= 
= 
.
Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Пусть требуется вычислитьинтеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле 
, откуда 
.
Пример. Найти интеграл 
Решение: 
При нахождении этого интеграла записи самой подстановки можно не производить. Здесь достаточно принять во внимание, что 
. Таким образом,
Пример. Найти интеграл 
Решение:
или заметим, что 
, тогда
Пример. Найти интеграл 
Решение:
или заметим, что 
, тогда
Пример. Найти интеграл 
Решение: 
или заметим, что 
, тогда
Пример. Найти интеграл 
Решение: 
или заметим, что 
, тогда
Пример. Найти интеграл 
Решение: 
или заметим, что 
, тогда
Пример. Найти интеграл 
Решение: 
или заметим, что 
, тогда
Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям:
.
Приведем наиболее часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.
I. Интегралы вида 
,
,
,
Где 
- многочлен степени n, k – некоторое число. Чтобы найти
эти интегралы, достаточно обозначить 
и применить формулы интегрирования по частям n раз.
II. Интегралы вида 
,
,
,
,
,
где - многочлен степени n, k – некоторое число. Их можно найти по частям, принимая за u функцию, являющуюся множителем при .
Пример. Найти интеграл 
.
Решение: Данный интеграл относится к первому типу интегралов, за u обозначим x итак как х – многочленпервой степени, то формулу интегрирования по частям будем применять один раз.
Пример. Найти интеграл 
Решение: Данный интеграл относится к первому типу интегралов, за u обозначим 
и так как – многочленвторой степени, то формулу интегрирования по частям будем применять два раза.
Пример. Найти интеграл 
Решение: Данный интеграл относится ко второму типу интегралов, за u обозначим 
.
Пример. Найти интеграл 
Решение: Данный интеграл относится к второму типу интегралов за u обозначим 
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1) – 40) Найти интегралы:
1) 
. 2) 
.
3) 
. 4) 
.
5) 
. 6) 
.
7) 
. 8) 
.
9) 
. 10) 
11) 
. 12) 
. 13) 
.
14) 
. 15) 
. 16) 
.
17) 
. 18) 
. 19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
. 27) 
28) 
29) 
30) 
31) 
32) 
33) 
34) 
35) 
36) 
37) 
.
38) 
39) 
40) 
Дифференциальные уравнения
Основные понятия и определения
Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающие независимую переменную х, искомую функцию 
и ее производные 
.
Символически дифференциальное уравнение можно записать так:
или 
.
Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, уравнение 
есть уравнение первого порядка, а уравнение 
есть уравнение второго порядка.
Определение: Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция 
, которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество. Каждый интеграл определит на плоскости хОу кривую, которая называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
