Задачи для самостоятельной работы. Определение:производной функции в точке Х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента

Производная

Определение: Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

.

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции; функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой в данной точке.

Эквивалентные обозначения производной:

.

Основные правила дифференцирования:

1. .

2.

3.

4.

5.

Таблица производных:

1.

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

 

Пример. Найти производную функции .

Решение: .

 

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции .

Решение: .

Пример. Найти производную функции .

Решение:

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции .

Решение:

 

Пример. Найти производную функции .

Решение:

 

Производная сложной функции

Сложная функция – это функция от функции.

В записи x называется независимой переменной,

u – промежуточным аргументом; u(x) – внутренняя функция;

f – внешняя функция.

Производная сложной функции равна производной от внешней функции по промежуточному аргументу, помноженной на производную внутренней функции:

.

Таблица производных для сложных функций:

1. . 1.1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

Во всех формулах u является некоторой функцией от х.

Пример. Найти производную функции .

Решение: Данная функция является сложной. Её можно представить в виде цепочки «простых» функций , где . По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции .

Решение:.

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции .

Решение:

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции

Решение:

=

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1–50. Вычислить производные от заданных функций:

Указание: Студентам не рекомендуется увлекаться упрощением выражений, полученных в результате дифференцирования, так как основная цель этой главы заключается в освоении техники дифференцирования, а не в проверке умения производить тождественные преобразования.

1) . 2) .

 

3) . 4) .

 

5) . 6) .

 

7) . 8) .

 

9) . 10) .

 

11) . 12) .

 

13) . 14) .

 

15) . 16) .

 

17) . 18) .

 

19) . 20) .

 

21) . 22) .

 

23) . 24) .

 

25) . 26) .

 

27) . 28) .

 

29) . 30) .

 

31) . 32) .

 

33) . 34) .

 

35) . 36) .

 

37) . 38) .

 

39) . 40) .

 

41) . 42) .

 

43) . 44) .

 

45) . 46) .

 

47) ..48) .

 

49) . 50) .

Неопределенный интеграл

Определение: Неопределенным интегралом называется функция , содержащая произвольное постоянное С, дифференциал которой равен подынтегральному выражению ,

т.е , если .

Основные свойства неопределенного интеграла

1. .

2. .

3. .

Таблица основных интегралов

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.

Примеры: Найти интегралы:

1) ;

2) .

Решение: 1) Разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:

 

 

.

 

2) Разделив почленно числитель на знаменатель, разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:

 

 

=

= .

 

Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Пусть требуется вычислитьинтеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле , откуда .

Пример. Найти интеграл

Решение: При нахождении этого интеграла записи самой подстановки можно не производить. Здесь достаточно принять во внимание, что . Таким образом,

 

Пример. Найти интеграл

Решение:

или заметим, что , тогда

Пример. Найти интеграл

Решение:

или заметим, что , тогда

Пример. Найти интеграл

Решение:

или заметим, что , тогда

Пример. Найти интеграл

Решение:

или заметим, что , тогда

Пример. Найти интеграл

Решение:

или заметим, что , тогда

 

 

Пример. Найти интеграл

Решение:

или заметим, что , тогда

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям:

.

Приведем наиболее часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида ,

,

,

Где - многочлен степени n, k – некоторое число. Чтобы найти

эти интегралы, достаточно обозначить и применить формулы интегрирования по частям n раз.

II. Интегралы вида ,

,

,

,

,

где - многочлен степени n, k – некоторое число. Их можно найти по частям, принимая за u функцию, являющуюся множителем при .

Пример. Найти интеграл .

Решение: Данный интеграл относится к первому типу интегралов, за u обозначим x итак как х – многочленпервой степени, то формулу интегрирования по частям будем применять один раз.

 

 

Пример. Найти интеграл

Решение: Данный интеграл относится к первому типу интегралов, за u обозначим и так как – многочленвторой степени, то формулу интегрирования по частям будем применять два раза.

 

Пример. Найти интеграл

Решение: Данный интеграл относится ко второму типу интегралов, за u обозначим .

Пример. Найти интеграл

Решение: Данный интеграл относится к второму типу интегралов за u обозначим .

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1) – 40) Найти интегралы:

1) . 2) .

3) . 4) .

5) . 6) .

7) . 8) .

9) . 10)

11) . 12) . 13) .

14) . 15) . 16) .

17) . 18) . 19)

20) 21) 22)

23) 24) 25)

26) . 27) 28)

29) 30) 31)

32) 33) 34)

35) 36) 37) .

38) 39) 40)

Дифференциальные уравнения

Основные понятия и определения

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающие независимую переменную х, искомую функцию и ее производные .

Символически дифференциальное уравнение можно записать так:

или .

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, уравнение есть уравнение первого порядка, а уравнение есть уравнение второго порядка.

Определение: Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество. Каждый интеграл определит на плоскости хОу кривую, которая называется интегральной кривой дифференциального уравнения.