Послідовність 
називається фундаментальною, якщо
: 
Теорема 1. (Критерій Коші)
Послідовність дійсних чисел збігається тоді і тільки тоді, коли вона фундаментальна.
Доведення. Необхідність. Нехай існує 
. Тоді : 
:
.
Необхідність доведена.
Достатність. Якщо – фундаментальна, то вона обмежена, що випливає з раніше доведених тверджень. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса існує збіжна підпослідовність 
. Із означення фундаментальності 
, а далі за теоремою про суму двох збіжних послідовностей, одержимо, що 
збігається.
Достатність доведена.
Теорема доведена.
Послідовність має обмежену варіацію, якщо 
: 
.
Лема 1. (Про послідовність з обмеженою варіацією)
Послідовність , що має обмежену варіацію – збіжна.
Доведення. Позначимо 
, вона обмежена та неспадна, з чого слідує, що вона збіжна, і за критерієм Коші – фундаментальна
– фундаментальна збіжна.
Лема доведена.
Нехай 
– числові послідовності. Якщо 
, то будемо записувати 
та казати, що послідовність 
є малою в порівнянні з послідовністю 
.
Лема 2. (Критерій о-малості послідовності)
.
Доведення. 
.
Лема доведена.
Теорема 2. (Часткові суми о-малої послідовності)
Нехай 
, 
при 
і 
. Тоді
.
Доведення. З умови ми маємо, що 
. Крім того з умови 
випливає, що 
: 
.
Теорема доведена.
Наслідок 1. (Границя відношення часткових сум)
Нехай 
і . Якщо 
, то 
.
Доведення. Нехай 
. Оскільки 
, і 
, то за теоремою 2 права частина прямує до нуля.
Якщо 
, то 
за теоремою 2 
. Аналогічно для випадку 
.
Теорема доведена.
Наслідок 2. (теорема Коші)
Якщо існує 
, то існує 
.
Доведення. Для доведення достатньо в останньому наслідку покласти 
.
Теорема доведена.
Теорема 3. (Штольца)
Якщо послідовність 
монотонно прямує до 
, та 
, то 
.
Доведення. Для доведення достатньо в наслідку покласти 
, 
; 
, 
. Тоді 
, 
.
Теорема доведена.
Приклад 1. Знайти 
.
; 
.
Для довільних додатних дійсних чисел 
визначимо:
середнє арифметичне – 
;
середнє геометричне – 
;
середнє гармонічне – 
;
середнє степеневе порядку 
– 
.
З’ясувати, яким значенням параметру 
відповідають визначені вище середні, а також узагальнити середні степеневі на випадок довільного 
залишаємо читачам.
Приклад 2. Границя середніх – арифметичного, гармонічного, геометричного.
Нехай послідовність додатних дійсних 
чисел така, що 
. Довести тоді, що до тієї ж самої границі збігаються також середнє арифметичне 
, середнє геометричне 
і середнє гармонічне 
чисел 
.
Твердження для середнього арифметичного безпосередньо випливає з теореми Коші. Для середнього гармонічного також з цієї теореми легко одержати, що 
, тому що 
, з чого маємо: 
. Для середнього геометричного все випливає з теореми про двох поліцаїв та нерівності між середніми: 
, а тому і 
.
Теорема 4. (Границя кореня n-го степеня)
Якщо для послідовності додатних чисел 
, то
.
Доведення. За останнім прикладом (для середнього геометричного) маємо:
.
Теорема доведена.
