Основні означення та позначення

 

Спочатку визначимо символи, які будемо використовувати на протязі усього курсу математичного аналізу: –

– квантор загальності, вживається для заміни слів “ для будь-якого ”;

– квантор існування, вживається для заміни слів “ існує ”;

– „ існує єдиний ”;

– символ імплікації, запис означає: “ якщо , то ”;

– символ еквівалентності, запис , означає одночасне виконання і , або для того, щоб необхідно та достатньо, щоб ;

– символ диз’юнкції, запис , означає або (не в строгому розумінні);

– символ кон’юнкції, запис , означає і ;

– дорівнює за означенням, визначається за означенням;

– множина натуральних чисел;

– множина цілих чисел;

– множина раціональних чисел;

– множина дійсних чисел;

– множина комплексних чисел;

– додавання до значків індексів “+” (“–“) означає, що розглядається лише невід’ємна (недодатна) частина означеної множини (наприклад, – це дійсні невід’ємні числа, а – цілі недодатні числа, обидві ці множини містять нуль в якості свого елемента);

– означає, що „ величина (індекс) пробігає усі цілі значення від до включно ”.

– є (не є) елементом множини ;

– порожня множина;

– є підмножиною (в нестрогому розумінні), тобто ( не є підмножиною , тобто );

– рівність множин, тобто ;

– це означає, що є сукупністю елементів множини , які мають задану властивість .

 

Приклад 1. – таким чином визначається множина усіх парних цілих чисел

 

Визначимо операції та символи теорії множин:

 

– множина усіх підмножин множини .

При визначенні решти операцій, будемо вважати, що усі множини є підмножинами деякої універсальної множини , тобто всі вони належать .

– перетин двох множин і ;

– об’єднання двох множин і ;

– різниця двох множин і ;

– симетрична різниця двох множин і ;

– доповнення множини

 

Узагальнимо поняття об’єднання та перетину на випадок різних сукупностей множин:

для скінченої сукупності множин :

– перетин множин;

– об’єднання множин;

для зліченої сукупності множин :

– перетин множин;

– об’єднання множин;

для довільної сукупності множин :

– перетин множин;

– об’єднання множин;

 

Розглянемо також деякі інші позначення:

– сума доданків;

– добуток множників;

факторіал, (визначається для усіх чисел множини ), ;

подвійні факторіали;

біноміальні коефіцієнти;

 

Нагадаємо деякі важливі функції, що часто вживаються в подальших дослідженнях:

– сiгнум (знак). – модуль (абсолютна величина).

Дуже часто корисною виявляється проста формула, що пов’язує останні дві функції: .

– ціла частина (ант’є), наприклад , , ;

– дробова частина; наприклад: , , .

– синус гіперболічний; – косинус гіперболічний; – тангенс гіперболічний; котангенс гіперболічний.

Функція Діріхле: .

 

Властивість. (Принцип двоїстості)

Довільне математичне твердження можна записати за допомогою логічних символів ( та деякої умови ). В цьому випадку заперечення сформульованого твердження (протилежне твердження) ми дістанемо шляхом заміни кожного квантора на протилежний, а властивість на її заперечення.

 

 

Приклад 2. Твердження: послідовність обмежена .

Протилежне твердження: послідовність необмежена .

 

Ми в нашому курсі не будемо розглядати теорію дійсного числа. Для їх побудови використовується аксіоматичний метод. Що це означає, що виписується групи аксіом, при цьому дійсні числа повинні їм задовольняти. А також будь-яка інша сукупність елементів, що задовольняє заданим аксіомам повинна бути еквівалентною дійсним числам. Зрозуміло, що є декілька варіантів подібної аксіоматики. Для нас про дійсні числа цілком достатньо буде знати ті речі, які нам добре зрозумілі зі шкільної програми, а саме: між будь-якими двома раціональними числами є принаймні одне ірраціональне (а тому їх там нескінченно багато), і аналогічно – між будь-якими двома ірраціональними числами є принаймні одне раціональне (а тому їх там також нескінченно багато).

 

Про натуральні числа, які також визначаються системою аксіом, нам треба знати декілька також цілком зрозумілих речей. Тут ми випишемо лише деякі з них, щоб їх нагадати, тому що вони стануть в нагоді при вивченні індукції, а також в теорії послідовностей.

 

Властивості. (Натуральних чисел)

1. Якщо деяка множина така, що , а також разом з числом множині також буде належати і число , то .

2. За числом в цій множині безпосередньо слідує число , тобто не існує натуральних чисел , що задовольняють умови: .

3. Будь-яка непорожня підмножина натуральних чисел містить найменший елемент.

 

Розглянемо дуже важливий математичний принцип – математична індукція, яка базується на таких двох умовах та на вищенаведених властивостях натуральних чисел.

 

Властивість. (Принцип математичної індукції)

Умова 1: Твердження – істинне.

Умова 2: із істинності твердження слідує істинність .

Висновок: Усі твердження істинні.

 

Приклад 3. Довести рівність .

При ми маємо: – справджується.

Припустимо, що вірно для деякого : . Покажемо, що . Зробимо перетворення лівої частини рівності належним чином:

,

що й треба було довести.

 

Теорема 1. (Біном Ньютона)

справджується рівність: .

 

Доведення. Спочатку безпосередньо з означення доведемо просту, але дуже важливу властивість біноміальних коефіцієнтів:

.

Тепер можемо скористатися математичною індукцією. При

– справджується.

Нехай при деякому виконується , треба довести, що

.

,

що й треба було довести.

Теорема доведена.

 

В сучасний математиці фундаментальне поняття множини піддається ретельному аналізу, але ми заглиблюватись у нього не будемо. В існуючих математичних теоріях множина визначається як математичний об’єкт, що має відповідний набір властивостей, описання цих властивостей складає аксіоматику теорії множин. Ядром аксіоматики теорії множин виступає правила, за якими можна з множин будувати нові множини. Це дозволяє уникнути суперечностей, що можуть виникнути, а також забезпечити відповідно свободу оперування поняттям множина. Є декілька різних аксіоматик, але усі вони заперечують існування множини усіх множин, а також, множина усіх підмножин деякої множини є цілком слушною множиною.