1). Уравнения вида 
= 
. (3)
Так как в ОДЗ левая часть уравнения всегда неотрицательна, то уравнение может иметь решение только тогда, когда 
0. В этом случае обе части данного уравнения неотрицательны, и их возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение. Таким образом, получаем:
= 
. (4)
В этом равносильном переходе требование 0 задаёт ОДЗ. Однако если искать ОДЗ довольно сложно, то проще подставить найденные корни уравнения 
либо в исходное уравнение, либо проверить истинность неравенства 0 при подстановке в него этих корней.
Замечание. Нет необходимости проверять условие 
0, поскольку оно автоматически выполняется при решении уравнения системы (4).
Пример 3. Решить уравнение 
.
Δ 
.
Ответ: 
.
Замечание. Это уравнение можно решить другим способом, не применяя последовательных равносильных преобразований. После возведения в квадрат обеих частей уравнения получим уравнение-следствие: 
. Его корни 
. Для выявления возможных посторонних корней необходимо сделать проверку. Подставляя поочерёдно в данное уравнение найденные значения 
,получаем:
- не является корнем, 
- корень уравнения.
2). Уравнения вида = 
(5) 
или (5) 
.
При таком способе решения достаточно проверить неотрицательность одного из подкоренных выражений.
Пример 4. Найдите произведение корней уравнения 
.
Δ Воспользуемся вторым условием равносильности:
Значит произведение корней равно 
.
Ответ: 
.
3). Уравнения, сводящиеся к рациональным при помощи замены переменной
Как правило, способ подстановки удобен, когда в уравнение входят радикалы разных степеней.
Пример 5. Решить уравнение 
+ 
.
Δ Обозначим 
, где t 0, тогда 
и данное уравнение запишется в виде 
.
По теореме Виета его корни 
.
Так как найденные значения 
должны удовлетворять неравенству t 0, то данное уравнение равносильно 
.
Ответ: 
.
Пример 6. Решить уравнение 
.
Δ Обозначим 
, 
, где 
. Заметим, что 
, 
, тогда 
.
Для нахождения 
и 
нужно решить систему:
.
Воспользовавшись обратной заменой, получим:
или 
или 
.
Следовательно, 
, 
, 
.
Проверкой убеждаемся, что найденные значения 
являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 
.
Замечание. Существует достаточно много способов решения иррациональных уравнений. Рассмотрим, например, комбинированный способ решения, когда метод подбора корней сочетается с графическим способом.
Пример 7. Решить уравнение 
.
Δ Преобразуем данное уравнение.
.
Легко увидеть, что 
- корень данного уравнения. Осталось показать, что других корней уравнение не имеет. Для этого рассмотрим графики функций 
и 
. Обе функции непрерывны и строго монотонны на общей области определения, причём 
, а 
на 
. Поэтому графики этих функций не могут иметь более одной общей точки. Следовательно, - единственный корень данного уравнения. Ответ: 
.
