Средний арифметический и средний гармонический индексы

Приведенные выше формулы расчета индексов называются агрегатными. Расчет индексов по агрегатным формулам возможен, если есть полные данные о физическом объеме продукции и о ценах как на уровне отчетного так и базисного периодов. В реальной действительности полные данные имеются не всегда. В таких случаях приходится исчислять индексы как среднюю взвешенную величину из индивидуальных индексов.

Вопрос о выборе формы средней и системы весов при расчете индекса как среднего из индивидуальных решается на основе общего правила: агрегатный индекс – основная форма всякого индекса. Следствие этого правила – средний из индивидуальных индексов будет тогда правильным, когда он тождественен агрегатному индексу. Это означает, что средние из индивидуальных индексов не самостоятельные индексы, а преобразованная форма агрегатного индекса. При исчислении средних индексов могут быть использованы только две формы средних: средняя арифметическая и средняя гармоническая.

Пример 2

Имеются следующие данные о продаже товаров:

 

Товарные группы	Продано товаров в базисном периоде, млн. руб.	Индексы количества проданных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным
Обувь		0,95
Посуда		1,10
Ковры		1,20

 

Требуется определить общий индекс физического объема товарооборота.

Агрегатная формула индекса физического объема товарооборота:

 

.

В нашем примере есть сведении о . Кроме того, мы имеем индивидуальные индексы количества проданных товаров по каждой товарной группе. Как известно .

Из данной формулы выразим : и подставим это значение в числитель агрегатной формулы индекса. Тогда будем иметь:

 

,

 

где - индивидуальный индекс физического объема товарооборота;

- товарооборот базисного периода.

В данном случае используем средний арифметический индекс.

 

 

Таким образом, количество проданных товаров увеличилось в отчетном периоде по сравнению с базисным на 7,5%.

Пример 3.

Имеются следующие данные о реализации товаров:

 

Товарные группы	Товарооборот отчетного периода, млн.руб.	Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
Одежда		+10
Ткани		-5
Обувь		-15

 

Вычислить индивидуальные и общий индексы цен.

Индивидуальные индексы:

 

На одежду
На ткани
На обувь

 

Агрегатная формула общего индекса цен:

 

 

Объем товарооборота по каждой товарной группе имеем по условию задачи.

Из формулы индивидуального индекса цен выражаем : и это значение подставляем в агрегатную формулу .

Тогда

 

.

 

Это формула среднего гармонического индекса.

 

, т.е. в среднем цены снизились на 5,4%.

4. Индексный анализ динамики средних уровней качественных показателей.

Средние уровни многих экономических явлений исчисляются на основе групповых средних. Например средняя себестоимость изделия А по двум предприятиям определяется исходя из средней себестоимости изделия А на каждом предприятии взвешенной по количеству изделий, произведенных на данном предприятии, т.е.

 

 

Индекс динамики средней себестоимости изделия А имеет следующую формулу:

 

: .

 

На величину этого индекса оказывают влияние два фактора – изменение себестоимости на каждом предприятии и изменение объема продукции (удельного веса, структуры) отдельных предприятий. Поскольку в данном индексе используются веса разных периодов, то этот индекс называют индексом переменного состава. Индекс переменного состава характеризует изменение средней величины качественного показателя по всей совокупности:

Для выявления влияния на изменение средней себестоимости изменения самой себестоимости рассчитывают индекс постоянного состава. который характеризует изменение величины качественного показателя в среднем по отдельным объектам совокупности: Чтобы исключить влияние структурных сдвигов на изменение средней себестоимости, среднюю себестоимость в базисном периоде корректируют на структуру фактического выпуска продукции. В общем виде формула индекса себестоимости фиксированного состава записывается так:

 

Для выявления влияния на изменение средней величины изменения структуры продукции исчисляют индекс влияния структурных сдвигов.

 

.

 

При этом взаимосвязь между индексами выражается следующей формулой:

 

.

 

Расчет индексов постоянного, переменного состава и влияния структурных сдвигов покажем на следующем примере.

Пример 4

Имеются следующие данные о деятельности трех строительных организаций:

 

Строительная организация	Средняя заработная плата строительно-монтажных рабочих, ден. ед.	Среднегодовая численность строителей-монтажников, чел.
базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
«Строй-Сервис»			1 000	1 200
«Госстрой»				1 500
«Строймонтаж»
ИТОГО	×	×	2 350	3 020

 

Рассчитайте индексы заработной платы переменного и постоянного составов, а также индекс влияния структурных сдвигов.

Объясните результаты расчетов.

 

 

Решение:

1. Индекс переменного состава характеризует изменение средней величины качественного показателя – заработной платы – по всей совокупности и рассчитывается по формуле:

 

.

 

Средняя заработная плата по всем строительным организациям в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 5,4%. На величину этого индекса оказали влияние два фактора: изменение самой заработной платы и изменение в структуре рабочих.

2. Индекс постоянного состава изучает изменение качественного показателя за счет динамики самого показателя, исключая влияние структурных сдвигов: как видно, в формуле данного индекса коэффициенты при весах q неизменны (фиксируются на уровне отчетного периода):

 

.

 

Рассчитаем индекс заработной платы постоянного состава:

 

 

Таким образом, средняя заработная плата по всем строительным организациям повысилась на 5,2% за счет изменения самой заработной платы.

3. Индекс влияния структурных сдвигов характеризует изменение средней величины качественного показателя за счет изменения структуры совокупности и не учитывает влияние динамики самой качественной величины (размер заработной платы фиксируется на уровне базисного периода):

 

.

 

Рассчитаем, чему равен данный индекс в нашем случае:

 

.

 

Таким образом, изменение структуры среднегодовой численности строительно-монтажных рабочих повлекло увеличение средней заработной платы на 0,2%.

Между индексами переменного и постоянного состава и индексом влияния структурных сдвигов существует взаимосвязь: произведение индекса постоянного состава и индекса влияния структурных сдвигов дает индекс переменного состава.

 

.

 

С помощью взаимосвязи экономических индексов проверим правильность произведенных ранее расчетов:

 

 

Ответ: средняя заработная плата по трем строительным организациям в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 5,4%. Данное увеличение на 5,2% было вызвано динамикой самой заработной платы по всем строительным организациям и на 0,2% – изменением структры численности строительно-монтажных рабочих данных организаций.