Теперь маленькая задачка, на какой множитель нужно умножить 
, чтобы получить 
? Очевидно, что на 
:
Далее умножаем сначала на , потом – на 
, потом – на 
, потом – на 0 и записываем результаты слева:
Проводим черточку и производим вычитание (из верха вычитаем низ):
Старшая степень остатка 
равна двум, старшая степень делителя 
– больше, она равна трём, значит, больше разделить не удастся. Если бы изначально у нас был в числителе многочлен пятой степени, то то алгоритм деления увеличился бы на один шаг.
Итак, наше решение принимает следующий вид:
Делим числитель на знаменатель:
(1) Что дало деление? Много хорошего: теперь у нас два слагаемых, первое – интегрируется совсем просто, а второе – правильная дробь, которую мы решать уже умеем.
После деления всегда желательно выполнять проверку.
В рассматриваемом примере можно привести к общему знаменателю 
, и в результате получится в точности исходная неправильная дробь 
(2) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель дроби раскладываем на множители
Дальше всё идет по накатанной схеме:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Готово.
И, наконец, заключительный пример для самостоятельного решения. Он очень интересен, рекомендую всем!
Пример 9
Найти неопределенный интеграл.
Только что обратил внимание, что во всех примерах урока в ходе решения систем у нас получались «хорошие» целые коэффициенты 
. По той причине, что почти все интегралы я взял из сборника Рябушко. На практике же, когда автор методички придумает какой-нибудь корявый интеграл, часто будут появляться разные нехорошести.
Таким образом, если в ходе решения интеграла от дробно-рациональной функции у Вас получаются дробные значения коэффициентов , то в этом нет ничего страшного, ситуация даже обыденна.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Комментарий: в правой части у нас нет слагаемого с 
, поэтому в первом уравнении системы ставим справа ноль.
Пример 4: Решение:
Шаг 1. Проверяем, правильная ли у нас дробь
Старшая степень числителя: 6
Старшая степень знаменателя: 8
, значит, дробь является правильной.
Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители. Множитель 
разложить нельзя, а вот 
– можно:
Шаг 3. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей.
В данном случае, разложение имеет следующий вид:
Пример 6: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Пример 7: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Пример 9: Решение:
(1) Здесь неправильная дробь, поскольку старшие степени числителя и знаменателя равны: 3 = 3. Для того чтобы разделить числитель на знаменатель придётся временно раскрыть скобки в знаменателе.
(2)-(3) Теперь можно разделить 
на знаменатель 
, но делать этого… я не буду. Можно поступить хитрее. Используем прием, который рассмотрен в первом параграфе урока Интегрирование некоторых дробей.
(4) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель оставшейся, уже правильной, дроби снова записываем в виде произведения множителей. Тут я немного подсократил разложение, надеюсь, всем понятно, что 
Далее накатанная колея…
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Иррациональные функции
Пример 1
Найти неопределенный интеграл
Анализируя подынтегральную функцию, приходишь к печальному выводу, что она совсем не напоминает табличные интегралы. Вот если бы всё это добро находилось в числителе – было бы просто. Или бы корня внизу не было. Или многочлена. Никакие методы интегрирования дробей тоже не помогают. Что делать?
