Однорідна система рівнянь, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю: 
| Неоднорідна система рівнянь, якщо хоч один з вільних членів відмінний від нуля: 
|
| Суміснасистема рівнянь, якщо вона має хоча б один розв’язок | Несуміснасистема рівнянь, якщо вона не має жодного розв’язку |
| Визначеноюназивається сумісна система рівнянь, якщо вона має єдиний розв’язок | Невизначеноюназивається сумісна система рівнянь, якщо вона має безліч розв’язків |
| Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну й ту ж множину розв’язків | |
| Дві системи лінійних рівнянь від одних і тих же невідомих називаються рівно-сильними, якщо кожний розв’язок однієї з них є розв’язком іншої, і навпаки (або якщо обидві системи несумісні). Зауважимо, що число рівнянь в рівносильних системах може бути різним |
Головний визначник системи – визначник, який складається з коефіцієнтів при невідомих системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
|
Можливі наступні випадки розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь: 1) якщо 
, тоді система має єдиний розв’язок, який можна знайти або за формулами Крамера, або методом Гаусса, або матричним способом;
2) якщо 
, тоді система або несумісна, або має безліч розв’язків.
Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
| Метод Крамера | |
| Використовується лише для СЛАР, де число невідомих співпадає з числом рівнянь (такі системи називають квадратними). Крім того, вводиться обмеження на коефіцієнти системи: необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежними (жодне рівняння не повинно бути лінійною комбінацією інших). Для цього потрібно, щоб визначник матриці системи не дорівнював нулю. Дійсно, якщо одне з рівнянь системи є лінійною комбінацією інших, то якщо до елементів якого-небудь рядка додати елементи іншого, помножені на будь-яке число, за допомогою лінійних перетворень, можна отримати нульовий рядок. Визначник в цьому випадку буде дорівнювати нулю | Припустимо, що дана система  лінійних рівнянь з невідомими:
Головний визначник системи:
.
Якщо визначник  квадратної системи не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який може бути знайдений за формулами Крамера:
 ,
де  – визначник, складений з головного визначника шляхом заміни -го стовпця на стовпець вільних членів (додаткові визначники)
|
| Матричний метод (метод оберненої матриці) | |
| Застосовується до розв’язання СЛАР, де число рівнянь дорівнює числу невідомих Метод базується на застосуванні властивостей добутку матриць. При використанні даного методу необхідно знаходити обернену матрицю, що може привести до обчислювальних труднощів при розв’язанні систем високого порядку | Розглянемо лінійну систему:
Запишемо систему в матричній формі:
 ,
де  – матриця коефіцієнтів системи;
 – матриця невідомих;
 – матриця вільних членів:
 ,  ,  .
Припустимо, що матриця невироджена (її визначник не дорівнює нулю  ), отже вона має обернену матрицю  .
Матричний спосіб розв’язування систем:
 .
Отже, розв’язком матричного рівняння є добуток оберненої матриці , на стовпець вільних членів системи
|
| Метод Гаусса (метод послідовних вилучень невідомих) | |
| Може бути використаний при розв’язанні СЛАР з довільним числом рівнянь та невідомих. Сутність методу полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь зводиться до такого виду, щоб матриця системи виявилася трикутною. Під елементарними перетво-реннями системи лінійних рівнянь розуміють наступні операції: 1) множення якого-небудь рівняння системи на число, відмінне від нуля; 2) додавання до одного рівняння іншого рівняння; 3) перестановка місцями рівнянь в системі. Комбінуючи елементарні перетворення першого та другого типів, можна до будь-якого рівняння додати інше рівняння, помножене на довільне число. Проводячи елементарні перетворення в системі, можна отримати нову систему. Очевидно, що кожному елементарному перетворенню системи відповідають аналогічні перетворення над рядками розширеної матриці цієї системи, і навпаки, кожному елементарному перетво-ренню рядків розширеної матриці відповідає деяке елементарне перетворення в системі. Таким чином, елементарні перетворення в системі зводяться до відповідних перетворень над рядками її розширеної матриці | Розглянемо спосіб знаходження єдиного розв’язку СЛАР:
Припустимо, що  (цього завжди можна досягти, помінявши рівняння місцями).
Розділимо обидві частини першого рівняння на  та віднімемо отримане рівняння з кожного із рівнянь системи, що залишилися, помноживши його попередньо на  де  – номер чергового рівняння. Як відомо, отримана при цьому нова система буде рівносильною початковій. Коефіцієнти при  в усіх рівняннях цієї системи, починаючи з другого, будуть дорівнювати нулю, тобто система набуде вигляду:
Таким же чином виключають  з третього та наступних рівнянь. Продовжуючи цю операцію для наступних невідомих, система набуває так званого трикутного вигляду:
Тут символами  і  позначені числові коефіцієнти та вільні члени, що набули змін в результаті перетворень.
З останнього рівняння системи єдиним чином визначається  , а потім послідовною підстановкою – решта невідомих.
Зауваження. Іноді в результаті перетворень в якомусь із рівнянь всі коефіцієнти і права частина перетворюються в нулі, тобто воно перетворюється у тотожність: 0=0. Виключивши його з системи, тим самим зменшується число рівнянь порівняно з числом невідомих. Така система не може мати єдиний розв’язок.
Якщо ж в процесі застосування метода Гаусса будь-яке рівняння перетворилося в рівняння виду 0=1 (коефіцієнти при невідомих стали дорівнювати нулю, а права частина прийняла ненульове значення), то початкова система не має розв’язку, бо подібна рівність є невірною при будь-яких значеннях невідомих
|
