Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо закріпленої осі

Враховуючи рівняння моментів, основне рівняння динаміки обертального руху матеріальної точки може бути записане у вигляді:

З нього випливає, що кутове прискорення точки при обертальному русі прямо пропорційне моменту сил, що діють на точку і обернено пропорційне її моменту інерції.

Порівнюючи вираз з рівнянням поступального руху, доходимо до висновку, що для обертального руху момент інерції відіграє таку ж роль, що і маса при поступальному русі. Отже момент інерції характеризує інертні властивості при обертальному русі: здатність зберігати кутову швидкість при обертанні.

Закон збереження моменту імпульсу приймає вигляд:

або

В замкнених системах добуток моменту інерції на кутову швидкість є величиною сталою.

Робота зовнішніх сил при обертання тіла. Кінетична енергія обертального руху.

При обертанні тіла відносно закріпленої осі роботу здійснює тільки тангенціальна складова сили. Тоді при малому переміщенні на довжині дуги виконується елементарна робота

Оскільки частинки твердого тіла зв’язані жорстко, і

М_z – момент сили F відносно осі обертання.

Робота при повороті тіла на скінчений кут Δφ=φ₂-φ₁ дорівнює

якщо М_z =const А= М_z Δφ

У випадку дії кількох сил розглядається алгебраїчна сума моментів усіх зовнішніх сил.

 

Миттєва потужність при обертанні абсолютно твердого тіла:

або

Робота, виконана при обертанні абсолютно твердого тіла, Дорівнює зміні його кінетичної енергії.

За теоремою про кінетичну енергію:

У випадку, коли тіло одночасно здійснює поступальний та обертальний рух, вираз для його повної енергії має вигляд

m – маса тіла

V _c – швидкість поступального руху центру мас тіла

I₀ – Момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас тіла.

 

Гіроскопи.

 

Гіроскопом називається масивне симетричне тіло, що обертається з великою швидкістю відносно осі симетрії (осі гіроскопа). Ця вісь є однією з головних осей інерції. За умови її нерухомості . При спробі викликати обертання осі гіроскопа спостерігається своєрідне явище, назване гіроскопічним ефектом: вісь гіроскопа відновлює своє положення в просторі.

Гіроскоп з досить великим моментом інерції, приведений у швидке обертання, має великий момент імпульсу. Якщо на такий гіроскоп подіє короткочасно навіть значний момент сил, то зміна його моменту імпульсу буде незначною, а гіроскоп наче протидіятиме будь яким спробам змінити модуль і напрям його моменту імпульсу. Якщо частота обертання гіроскопа 20 000 – 30 000 хв^-1, то він надійно зберігає напрям свого обертання.

Вказана властивість використовується для автоматичного керування рухом торпед, ракет, тощо. Важливий напрямок – гіроскопічні компаси, дискові млини.

 

 

Контрольні питання

1. Дайте визначення поняттям „момент сили”, „момент інерції”, „момент імпульсу”, запишіть формули, вкажіть одиниці вимірювання та напрям векторних величин.

2. Назвіть характеристики обертального руху, дайте їм визначення.

3. Порівняйте характеристики поступального та обертального руху, вкажіть зв’язок між ними.

4. Сформулюйте основний закон динаміки обертального руху, порівняйте його з законом поступального руху.

5. Від чого залежить кінетична енергія тіла, що обертається? Запишіть формулу.

6. Який напрям має кутова швидкість та кутове прискорення? Від чого вони залежать?

7. Знайдіть момент інерції тонкого стрижня масою m та довжиною l відносно осі, перпендикулярної стрижню, що проходить через його кінець.

8. Сформулюйте теорему Гюйгенса – Штейнера. Для чого вона використовується?

9. Що таке «гіроскопічний ефект» та де він використовується?

 

Література

1. И.В. Савельев, Курс физики, т.І, "Наука", М., 1989, § 36-44.

2. І.М.Кучерук, І.Т.Горбачук, П.П.Луцик, Загальний курс фізики,т.І, „Техніка”, К, 2006, § 4.1-4.6