В замкненій системі матеріальних точок вектор повного моменту імпульсу відносно нерухомого початку зберігається, тобто не змінюється з часом

Лекція4. Механічний рух твердого тіла.

План

1. Момент імпульсу. Момент сили.

2. Рівняння моментів. Закон збереження моменту імпульсу.

3. Момент інерції. Теорема Гюйгенса – Штейнера

4. Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо закріпленої осі.

5. Робота зовнішніх сил при обертання тіла. Кінетична енергія обертального руху.

6. Гіроскопи.

 

Момент імпульсу. Момент сили.

У випадку руху тіла по складній траєкторії, його можна розглядати як обертальний рух точки навколо миттєвого центра обертання. Для характеристик такого руху використовують векторні величини: момент імпульсу та момент сил.

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно точки О називається осьовий вектор , що чисельно дорівнює добутку імпульсу матеріальної точки на довжину перпендикуляра r₀, опущенного з точки О на напрям імпульсу:

Або у векторній формі:

У випадку прямолінійного рівномірного руху момент імпульсу відносно нерухомої точки О залишається сталим.

У випадку рівномірного руху точки по колу, площина якого не змінбє орієнтації в просторі, момент імпульсу залишається сталим., пи чому

Моментом імпульсу системи матеріальних точок вілносно деякої точки О називається векторна сума моментів імпульсів усіх матеріальних точок, з яких складається система, відносно тієї ж точки:

Моментом сили відносно точки О називається осьовий вектор , що дорівнює векторному добутку радіус-вектора точки прикладання сили на вектор сили:

Інакше кажуть, що момент сили дорівнює добутку сили на її плече. Під плечем сили розуміють відстань від точки прикладання сили ло лінії її дії.

У випадку дії кількох сил, лінії дії яких лежать в одній площині, розглядають момент рівнодійної цих сил (векторної суми сил, прикладених до точки).

 

Рівняння моментів. Закон збереження моменту імпульсу.

Розглянемо момент імпульсу та момент сили, прикладені до однієї точки відносно нерухомої точки О та продиференціюємо його за часом:

оскільки , а , то випливає співвідношення, яке називають ще рівнянням моментів або основним законом динаміки обертального руху.

Векторне рівняння еквівалентне рівнянням в проекціях на осі:

Аналогічне твердження можна привести для системи N матеріальних точок, які попарно взаємодіють між собою силами

Похідна за часом від повного моменту імпульсу системи матеріальних точок відносно довільної нерухомої точки дорівнює головному вектору моментів зовнішніх сил відносно цієї точки

Для замкненої системи відліку геометрична сума моментів зовнішніх сил дорівнює 0, тобто =const. Звідси випливає закон збереження моменту імпульсу системи:

В замкненій системі матеріальних точок вектор повного моменту імпульсу відносно нерухомого початку зберігається, тобто не змінюється з часом.

В основі збереження моменту імпульсу лежить ізотропність простору, тобто однаковість властивостей простору по всіх напрямках. Обертання замкненої системи як цілого не впливає на її механічні властивості.

 

3. Момент інерції. Теорема Гюйгенса – Штейнера.

 

Розглянемо момент імпульсу, прикладений до точки відносно нерухомої точки О.

Врахуємо, що , а при обертанні навколо точки О з кутовою швидкістю ω

При обертанні по колу внаслідок перпендикулярності аекторів. Отже

Продиференціюємо за часом і врахуємо, що

(1)

Добуток маси точки на квадрат її відстані до центру обертання називається моментом інерції точки:

Момент інерції – величина скалярна

Моментом інерції тіла називають суму моментів інерції всіх його точок

У випадку рівномірного розподілу маси в суцільному тілі

де - густина тіла.

Момент інерції залежить не тільки від маси тіла, а й від її розподілу у просторі. Розраховують моменти інерції тіл певної геометричної форми за допомогою інтегрального числення.

 

 

Моменти інерції деяких однорідних тіл:

Тіло	Вісь, відносно якої визначається момент інерції	Момент інерції
Матеріальна точка з масою m	Проходить на відстані r від точки
Тонкий стрижень масою m та довжиною l	Перпендикулярна до стрижня і проходить через його середину
Тонкий стрижень масою m та довжиною	Перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець
Тонка трубка, обруч або кільце масою m та радіусом R	Співпадає з віссю трубки, проходить через центр тяжіння перпендикулярно основі.
Круглий однорідний диск або циліндр масою m та радіусом R	Проходить через центр тяжіння перпендикулярно основі.
Однорідна куля масою m та радіусом R	Проходить через центр кулі
Круглий циліндр циліндр масою m, довжиною l та радіусом R	Перпендикулярна до осі циліндра і проходить через його середину
Порожнистий товстостінний циліндр масою m та радіусами циліндричних поверхонь R1 та R2	Співпадає з геометричною віссю циліндра
Куб масою m та довжиною ребра a	Проходить через центр куба перпендикулярно його грані
Прямокутний паралелепіпед з розмірами 2a; 2b; 2c	Проходить через центр паралельно ребру 2а
Тонкий диск масою m та радіусом R, набагато більшим за товщину	Співпадає з діаметром диску

 

 

Якщо тіло здійснює обертання відносно осі, що не проходить через центр мас, для розрахунку моменту інерції користуються теоремою Гюйгенса – Штейнера:

Момент інерції відносно довільної осі дорівнює сумі момента інерції відносно осі, яка паралельна даній і проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями