Тема 1. Статика. Законы равновесия механических систем

Содержание заданий СРС модуля 1

по курсу «Механика радиотехнических систем

(Прикладная механика)»

Модуль 1

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

 

Тема 1. Статика. Законы равновесия механических систем

Пример 1. Определить равнодействующую двух сил P ₁ = 10 H и P ₂ = 25 H, приложенных в одной точке под углом друг к другу α = 60˚.Найти также углы и , образуемые равнодействующей с соответствующими силами (рис.1).

 

 

Решение. По теореме косинусов находим равнодействующую силу:

R ² = P + P – 2 P ₁ P ₂ cos(180˚ – α);

R = Н.

По теореме синусов запишем

.

Отсюда

sin = sin α = = 0,694;

sin = sin α = = 0,277;

44˚; 16˚.

 

Пример 2. Найти величину равнодействующей системы пяти сходящихся сил: P ₁ = 3 H, P ₂ = 5 H, P ₃ = 6 H, P ₄ = 7 H, P ₅ = 2 H (рис. 2), если α = 45˚.

Решение. Определяем проекцию равнодействующей на оси x и y:

P _x = – P ₅ + P ₂cos α + P ₃ = –2 + + 6 = 7,54 Н;

P _y = P ₁ – P ₄ + P ₂sin α = 3 – 7 + 3,54 = –0,46 Н.

Затем находим величину равнодействующей силы:

R = 7,54 Н.

 

Пример 3. К шарниру B кронштейна ABC (рис. 3) приложены силы P ₁ = 20 H и P ₂ = 15 H.Определить усилия в стержнях AB и BC, пренебрегая весом стержней, если α = 30˚.

Решение. Рассмотрим равновесие шарнира В. Действие связей-стержней на шарнир В заменяем реактивными силами R_A и R_C.

Составляем уравнения равновесия в системе координат xBy:

; – R_A – P ₂cos α – R_C cos α = 0;

; P ₂sin α – R_C sin α – P ₁ = 0.

Из второго уравнения находим R_C = –25 Н, из первого уравнения R_A = 8,7 Н. Таким образом, стержень АВ сжат, стержень ВС растянут.

 

Пример 4. К балке, лежащей на стойках 1 и 2 (рис.4), подвешен груз G =100 H. Расстояние между стойками l = 1 м. На каком расстоянии a от стойки 1 нужно подвесить груз, чтобы нагрузка на нее не превышала 20 Н?

Решение. Силы давления на стойки 1 и 2 обозначим R ₁ и R ₂ соответственно. Сила давления R ₁ по условию равна 20 Н. Равнодействующая G раскладывается на две параллельные составляющие: G = R ₁ + R ₂.

Откуда R ₂ = G – R ₁ = 80 Н.

 

 

Составляем пропорцию

,

откуда находим

a = = = 0,8 м.

 

Пример 5. Балка шарнирно закреплена в опоре А и положена на каток В (рис. 5). Определить реакции в опорах, если Р = 2 Н.

 

Решение. Выбираем систему координат xAy. Освобождаем балку от связей. Реакция неподвижного шарнира А будет направлено по оси у, поскольку в горизонтальном направлении по оси х активные силы не действуют. Реакция подвижной опоры (катка) R_B перпендикулярна к опорной поверхности катка.

Сила Р является сосредоточенной, а нагрузка интенсивности q распределена равномерно на участке балки длинной а. Интенсивность нагрузки имеет размерность силы, деленной на длину, например Н/м. Интенсивность находят из соотношения q = dQ/dx. Равнодействующую нагрузки получаем интегрированием этого выражения по длине участка: Q =

Точка приложения равнодействующей равномерно распределенной нагрузки находится в середине участка, на котором она действует. Графически распределенную нагрузку изображают над или под брусом (рис. 5).

Составим уравнение равновесия балки:

, M – Pa + R_B 2 a – (qa) 2,5 a = 0,

откуда

P_A – P_A + R_B 2 a – a a = 0, R_B =5Р = 10 Н.

Из уравнения равновесия ;

получим

R_A + R_B – Р – qa = 0;

R_A + 5Р – Р – 4Р = 0;

R_A = 0.

 

Пример 6. К вертикальному брусу, заделанному нижним концом в основание, приложены силы Р ₁, Р ₂; Р ₃ ­– вес бруса (рис. 6). Определить реакции в заделке, если Р ₁ = 2 кН, Р ₂ = 2 кН, Р ₃ = 4 кН, α = 45˚.

 

Решение. Выбираем систему координат xAy. Освобождаем брус от связи ­– жесткой заделки, заменяя ее неизвестной реактивной силой R_A с составляющими по координатным осям Х_А, Y_А и парой с неизвестным моментом m_А. Составляем уравнение равновесия бруса в виде

; Х_А + P ₁– Р ₂sin α = 0; Х_А 0,41 кН;

; Y_А – P ₃– Р ₂cos α = 0; Y_А 5,41 кН;

; – P₁4 + Р ₂sin α 3 + m _A = 0; m _A = –3,76 кН.

Знак «минус» в решении третьего уравнения показывает, что истинное направление реактивного момента m _A будет противоположно показанному на рис. 6.

 

Пример 7. Квадратная прямоугольная плита размер l = 4 м ( = 45˚), весом Р = 20 кН удерживается в горизонтальном положении тросом КС, цилиндрическим подпятником В и шарниром А (рис. 7). Определить реакции связей, если угол между тросом и плоскостью плиты α = 45˚.

 

 

Решение. Освободим плиту от связей. Реактивную силу в шарнире А заменим тремя составляющими R _{A X} , R _{A Y} , R _{A Z} реакцию подшипника R _B заменим двумя составляющими R _{B X} , R _{B Z} . Реакция троса R _K направлена по тросу, ее проекция на ось z

R _{К Z} = R _K sin α = R _K ,

а проекции на оси x, y равны:

R _{К X} = R _{К Y} = R _K sin α cos = R _K /2.

Составляем уравнение равновесия плиты:

; R_AХ + R_BХ – R _{К X} = 0;

; R_{A Y} – R _{К Y} = 0;

; R_AZ – P + R_KZ + R _BZ = 0;

; – + R _BZ + R _KZ = 0;

; – R _KZ = 0;

; R _BX = 0.

Из уравнений находим

R_AХ = R_AY = P ; R_AZ = ;

R_BХ = R_BZ = 0;

R_KХ = R_KY = P ; R_KZ = .

 

Пример 8. Горизонтальный вал (рис. 8) длинной 2 l = 100 мм установлен в подшипнике А и подпятнике В. На валу закреплено колесо, на которое действуют силы: окружная F_t = 100 Н, радиальная F_R = 37 Н, осевая F_a = 18 Н. Диаметр колеса d = 200 мм. Определить в положении равновесия момент m и реакции опор А и В.

 

 

Решение. Освободим вал от связей. Подшипник А воспринимает только радиальную силу, которую представим двумя составляющими R_AХ, R_AY. Подпятник В воспринимает радиальную и осевую силы: R_BХ , R_BY, R_BZ.

Составляем уравнение равновесия вала:

; F_R – R_АX – R_ВX = 0;

; R_{A Y} + R_BY – F_t = 0;

; R_BZ – F_a = 0;

; R_AY 2 – F_t = 0;

; R_AX 2 – F_a – F_R = 0;

; m – F _t = 0.

Из уравнений находим

m = 10 Нм; R_AХ = 0,5 H; R_AY = 50 H;

R_BХ = 36,5 H; R_BY = 50 H; R_BZ = 18 H.

 

Пример 9. Определить координаты центра тяжести пластины, показанной на (рис. 9).

 

 

Решение. Разбиваем пластину на три фигуры: прямоугольник один без учета отверстия, треугольник 2 и круг 3, площадь которого как отверстия считаем отрицательной. Вычисляем площади фигур:

F ₁ = 300 600 = 18 10⁴ мм² ;

F ₂ = = 4,5 10⁴ мм² ;

F ₃ = = 3,14 10⁴ мм² .

Определяем координаты центров тяжести фигур в выбранной системе координат. Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан на расстоянии одной трети длины каждой медианы от соответствующей стороны треугольника: у ₁= 300 мм, х ₁ = 150 мм, у ₂ = 100 мм, х ₂= 400мм, у ₃ = 150 мм, х ₃ = 150 мм.

Определяем координаты центра тяжести пластины:

y_c = мм;

 

х_c = мм.

 

 

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ РГР № 1.