Взаимное положение прямых и плоскостей

Прямая параллельная плоскости.

Если прямая АВ параллельна прямой лежащей в некоторой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Если необходимо через заданную точку провести прямую параллельную заданной плоскости необходимо провести в этой плоскости прямую, а затем параллельно ей через заданную точку проводят искомую прямую.

Например, плоскость задана отсеком АВС и надо провести параллельную плоскости прямую через точку К.

Проведем горизонтальную проекцию произвольной прямой 11 - 22, затем

построим фронтальную проекцию 12 - 22. Через проекции токи К проводим линии параллельные соответствующим проекциям прямой 1 - 2.

В2

1 2

К2

22 ·

А2 С2

А1 С1

К1

Параллельные плоскости.

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Поэтому, если требуется через точку D провести плоскость параллельную заданной АВС, то через точку проводят две прямые, параллельные любым прямым, находящимся в заданной плоскости.

В2

D2 ·

А2

С 2

С 1

D1 ·

А1

В1

Пересекающиеся плоскости.

Если плоскости не параллельны, то они обязательно пересекутся.

Если плоскости занимают частное положение в пространстве, то положение линии пересечения определить довольно просто.

Например, подумайте какое положение в пространстве займет линия пересечения двух горизонтально проецирующих плоскостей?

Õ 1

Рассмотрим случай когда плоскость общего положения пересекается с плоскостью параллельной плоскости П 1, т.е. с горизонтальной плоскостью.

Априори можно утверждать, что линия пересечения будет горизонтальной прямой. Действительно, линия пересечения принадлежит одновременно плоскости общего положения и горизонтальной плоскости, а все линии принадлежащие горизонтальной плоскости являются горизонталями.

Аналогичные рассуждения можно привести рассматривая пересечение плоскости общего положения и фронтальной плоскости. Линия пересечения будет фронталь ю. Запомним это.

А теперь рассмотрим наиболее сложный случай пересечения двух плоскостей общего положения.

В2 D2

T 2 12 22 72 32 E2

А2 42 82 52 62 å2

A1 1 1 F 1 6 1

В1 5 1 E1

21 8 1 3 1

C1 71

Плоскости общего положения заданные треугольниками АВС и DFE.

Задача решается с помощью двух вспомогательных горизонтальных плоскостей Т и å. Эти плоскости пересекут заданные по горизонталям 1и 2,

3 и Е; А и 4, 5 и 6. Фронтальные проекции горизонталей очевидны. Найдем горизонтальные проекции этих горизонталей на чертеже при помощи линий проекционной связи.

Продлевая горизонтальные проекции линий пересечения можно найти где они пересекаются между собой - это точки 7 1 и 8 1. Каждая из этих точек принадлежит трем плоскостям одновременно. Точка 7 принадлежит плоскостям Т, АВС, DFE, а точка 8 плоскостям å, АВС, DFE. Через точки 7 и 8 можно провести линию пересечения плоскостей АВС и DFE.Построение начинаем с горизонтальной проекции соединяя точки 71 и 81, а затем с помощью линий проекционной связи находим фронтальную проекцию 72, 82.

При решении подобных задач можно в качестве вспомогательных применять плоскости фронтальные и фронтально или горизонтально проецирующие.