На листе формата А3, расположение альбомное, выполняем в тонких линиях трехпроекционный комплексный чертеж сферы, выбрав точку О(50;60;60) сферы по координатам и радиусу сферы 40мм. На фронтальной плоскости проекций по координатам точек А;В;С и D (табличку с координатами точек желательно разместить на свободном поле чертежа внизу слева), взятым согласно варианту из таблицы 5.1, выполняем фронтальную линию сечения сферы фронтально-проецирующими плоскостями. В нашем образце в приложении К это линия 1DА5А' D'1. Фронтальная проекция линии пересечения у нас уже есть, а как найти остальные проекции смотри раздел 5.2.1 данного пособия.
Контрольные вопросы
5.4.1 Какая фигура получается в сечении при пересечении сферы плоскостью уровня?
5.4.2 Какие фигуры получаются в сечении при пересечении цилиндра проецирующими плоскостями?
5.4.3 Перечислите графические операции при построении плоских сечений любой поверхности.
5.4.4 Какие точки линии пересечения поверхности вращения плоскостью называются главными (опорными).
5.4.5 Как определить линию пересечения сферы с плоскостью общего положения.
6 Расчетно-графическая работа по теме «Взаимное пересечение поверхностей»
Целью данного занятия является изучение способов построения линии пересечения поверхностей.
6.1 Задание: в расчетно-графической работе №6 необходимо выполнить две задачи на построение линии пересечения поверхностей. Задачу №6.1 смотри в таблице 6.1, задачу №6.2 таблице 6.2, а варианты задания в таблице6.3
Таблица 6.1 - Задача 6.1
Таблица 6.2 - Задача 6.2
Таблица 6.3 - Варианты задания
| № вар. | Задача № 6.1 | Задача №6.2 | № вар | Задача № 6.1 | Задача №6.2 | ||||||||
| Таблица 6.1 | Таблица 6.2 | Таблица 6.1 | Таблица 6.2 | ||||||||||
| Рисунок1 | Н α | 90° | Рисунок1 | h А | Рисунок1 | Н α | 135° | Рисунок3 | А α | 90° | |||
| Рисунок3 | Н α | 90° | Рисунок2 | А В | Рисунок2 | Н α | 45° | Рисунок2 | А В | ||||
| Рисунок2 | Н α | 60° | Рисунок3 | А α | 60° | Рисунок3 | Н α | 120° | Рисунок1 | h А | |||
| Рисунок4 | Н α | 45° | Рисунок4 | А В | Рисунок4 | Н α | 60° | Рисунок2 | А В | ||||
| Рисунок5 | Н α | 90° | Рисунок5 | α1 α2 | 45° 45° | Рисунок5 | Н α | 90° | Рисунок3 | А α | 45° | ||
| Рисунок6 | А - | - | Рисунок6 | А В | Рисунок6 | А - | - | Рисунок4 | А В | ||||
| Рисунок7 | А α | 45° | Рисунок7 | α - | 90° - | Рисунок7 | А α | 60° | Рисунок5 | α1 α2 | 90° 0° | ||
| Рисунок8 | Н А | Рисунок8 | А В | Рисунок8 | Н А | Рисунок6 | А В | -10 | |||||
| Рисунок7 | А α | 90° | Рисунок9 | А В | Рисунок8 | Н А | Рисунок7 | α - | 45° - | ||||
| Рисунок6 | А - | - | Рисунок8 | А В | Рисунок6 | А - | - | Рисунок8 | А В | ||||
| Рисунок5 | Н α | 120° | Рисунок7 | α - | 60° - | Рисунок5 | Н α | 90° | Рисунок9 | А В | |||
| Рисунок8 | Н А | Рисунок6 | А В | Рисунок4 | Н α | 30° | Рисунок1 | h А | |||||
| Рисунок4 | Н α | 90° | Рисунок9 | А В | Рисунок3 | Н α | 110° | Рисунок2 | А В | ||||
| Рисунок3 | Н α | 135° | Рисунок5 | α1 α2 | 60° 30° | Рисунок2 | Н α | 60° | Рисунок3 | А α | |||
| Рисунок2 | Н α | 90° | Рисунок4 | А В | Рисунок1 | Н α | 75° | Рисунок4 | А В |
Теоретический раздел
Линия пересечения поверхностей представляет собой совокупность
точек обеих поверхностей. В общем случае для нахождения линии пересечения поверхностей используется следующий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:
- П ровести анализ вида поверхностей и их взаимного расположения. Анализ взаимного расположения поверхностей позволяет сделать вывод о количестве замкнутых контуров в линии пересечения. В случае проницания, когда одна из поверхностей полностью пересекается второй, линия пересечения состоит из двух контуров. Если пересечение частичное (случай врезки), линия пересечения представляет собой один пространственный контур. При касании поверхностей два контура линии пересечения имеют общую точку.
- Провести анализ вида линии пересечения поверхностей. Необходимо проанализировать и возможный вид линии пересечения (ее контура): пространственный или плоский, гладкий или с изломами, симметричный или несимметричный. Линия пересечения многогранников в общем случае представляет собой пространственную замкнутую ломаную, в частных случаях – пространственные либо плоские многоугольные контура.
Линия пересечения поверхностей второго порядка в общем случае –пространственная гладкая кривая четвертого порядка. Если такие поверхности имеют общую плоскость симметрии, то и линия пересечения будет симметричной кривой. Линия пересечения поверхности вращения либо поверхности второго порядка с многогранником в общей случае – пространственнаякривая с точками излома в точках пересечения ребер с поверхностьювторого порядка.
- Найти точки линии пересечения, определяемые непосредственным образом. Линия пересечения двух поверхностей в общем случае имеет характерные (опорные) точки, с которых и следует начинать построение линии пересечения. Опорными точками являются: точки, принадлежащие ребрам многоугольника, участвующим в пересечении; точки, в которых линия пересечения пересекает линию видимого контура поверхности относительно той или иной плоскости проекций (проекции этих точек принадлежат очерковой линии соответствующей проекции поверхности и называются очерковыми, они делят соответствующую им проекцию линии пересечения на видимую и невидимую, их еще называют точками смены видимости), но не каждая из очерковых является точкой смены видимости; экстремальные точки, то есть точки наиболее и наименее удаленные от той или иной плоскости проекций (по отношению к горизонтальной плоскости проекций это высшая и низшая точки).
- Выбрать вспомогательные плоскости – посредники для построения промежуточных точек. Основным способом построения линии пересечения поверхностей является способ вспомогательных поверхностей. Сущность его заключается в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, одна из которых результат пересечения вспомогательной поверхности с одной из заданных, другая – той же вспомогательной поверхности с другой заданной.
Выбор вида и положения вспомогательной секущей плоскости определяется в основном следующими соображениями:
- необходимостью определения положения ряда опорных точек, так как опорные точки располагаются на вполне определенных линиях, то вспомогательные поверхности выбрать так, чтобы они пересекли заданные именно по этим линиям (следует обратить внимание, что при решении конкретных задач каждая из опорных точек требует составления своего особого алгоритма построения, в то время как промежуточные точки могут быть построены на основании одного и того же алгоритма);
-любая из проведенных вспомогательных секущих плоскостей должна пересекать каждую из заданных по линиям, проекции которых должны быть графически простыми (прямая, окружность);
- все вспомогательные поверхности должны проводиться в пределах зоны возможного расположения (зона наложения) линии пересечения.
Вспомогательные секущие плоскости-посредники часто выбирают проецирующими или вращающими вокруг прямой (собственной или несобственной). Из проецирующих плоскостей чаще используют плоскости уровня. При определении линии пересечения двух поверхностей вращения, при их особом взаимном положении, не всегда рационально применять вспомогательные секущие плоскости, а использовать способ вспомогательных секущих сфер (концентрических и эксцентрических). Концентрические сферы-посредники применяются для определения линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями. Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, являющихся линиями сечения их концентрическими сферами.
- Объединить полученные точки в линию пересечения. Объединение найденных точек в линию пересечения легче всего производится путем обхода.
- Определить видимость линии пересечения и видимость поверхностей на плоскостях проекций.
Для наглядности чертежа на плоскостях проекций определяют видимость линии пересечения и самих поверхностей. При этом видимой точкой пересечения является точка, принадлежащая видимым частям обеих поверхностей.
