Каждый студент при изучении курса «Начертательная геометрия» должен выполнить расчетно-графические работы (работы), состоящие из нескольких типовых задач различных разделов курса. Работа выполняется по вариантам, варианты задания выдаются преподавателем. Целью каждого задания – закрепление знаний студентов по основным разделам курса и возможность приобрести определенные практические навыки в решении позиционных и метрических задач. Перечень работ смотри приложение А.
1.1 Прежде чем приступить к выполнения работы, необходимо ознакомиться с лекционным материалом и с краткими пояснениями решений геометрических задач и графических построений практикума.
1.2 Все работы выполняются на листах чертежной бумаги формата А3 (297*420).
1.3 Изображения графических элементов, указанных в условии задач, рекомендуется выполнять в масштабе 1:1.
1.4 Все построения должны быть выполнены чертежным инструментом, тип и толщины линий должны соответствовать ГОСТ 2.303. Смотри приложение Б. При этом толщину сплошной толстой основной линии, применяемой для изображения линии видимого контура, видимых линий пересечения, линий входящих в графическую часть определителя поверхности, рекомендуется выполнять для данных работ толщиной S= (0,8 – 1,0)мм. Линии невидимого контура и невидимые линии пересечения поверхности выполнять толщиной S/2. Линии проекционной связи, вспомогательные линии построения, осевые, линии симметрии – толщиной S/3. (В данных работах разрешается результат конечного построения выполнять цветными карандашами, элементы геометрических фигур покрывать бледными тонами или наносить штриховку).
1.5 Изображение всех точек, используемых для выполнения чертежей, а также промежуточные результаты построений должны быть выполнены в виде окружности, диаметр которых больше S.
1.6 Наименование точек следует выполнять заглавными буквами латинского алфавита (А;В;С…) или арабскими цифрами (1;2;3 …), линий -заглавными буквами греческого алфавита (А;В;Г;Δ…Ω), а проекции, указанных выше элементов – этими же знаками с соответствующим подстрочным индексом. Например: А → П1 =А1; А → П2 = А2; А → П3 = А3
Наименование и правописание букв латинского и греческого алфавитов смотри в приложении Б
Буквенные обозначения, цифры, буквы и другие надписи необходимо выполнять шрифтом №5 или №7 в соответствии с ГОСТ 2.304. Смотри приложение В
1.8 На чертежах необходимо сохранять те построения, которые дают возможность проверки правильности решения задачи и контроля графической точности построений.
1.9 В правом нижнем углу чертежа должна быть выполнена основная надпись по ГОСТ 2.104. В графе обозначение (в учебных целях) должна быть выполнена запись по типу: НГ.РГР№2.600521.08, где НГ –дисциплина «Начертательная геометрия», РГР№2 – номер очередной работы, 600521 – номер зачетной книжки, 08 – номер варианта.
В графе наименование записываем наименование графической работы взятые из приложения А
1.10 Каждое задание рассматривается и принимается преподавателем по бальной системе.
1.11 Выполненные работы студент должен хранить у себя и в конце семестра зачтенные (положительно оцененные) расчетно-графические работы сброшюровываются в альбом размером 297*420, первым листом которого должен быть титульный лист. Как выполнять титульный лист смотри методическое пособие «Шрифты чертежные» (разработка кафедры ТМС). Образец титульного листа в приложении Г. Альбом предъявляется на зачете, а затем во время сдачи экзамена.
1.12 В случае невыполнения установленного количества графических работ студент не допускается к сдаче экзамена по «Начертательной геометрии».
Терминологию и обозначения используемую в данных методических указаниях смотри в приложении Д.
2 Расчетно-графическая работа по теме «Комплексный чертеж плоскости».
Целью данной работы является изучение способа ортогонального проецирования точек, отрезков прямых линий и плоских фигур. Построение плоскости общего положения, главных линий плоскости, следов плоскости. Определение натуральной величины отрезка и плоской фигуры.
2.1 Задание: для плоскости Σ, заданной треугольником АВС:
2.1.1 построить проекции следов плоскости Σ(АВС);
2.1.2 определить углы φ и ω наклона плоскости Σ(АВС) к плоскостям проекций Π1 и Π2;
2.1.3 поворотом вокруг горизонтали или фронтали определить натуральную величину треугольника АВС.
Координаты точек А, В и С выбираем из таблицы 2.1 по вариантам. Образец выполнения работы смотри в приложении Е.
Таблица 2.1 – координаты точек
В миллиметрах
| № варианта | А | В | С | ||||||
| x | y | z | x | y | z | x | y | z | |
Теоретический раздел
2.2.1 Построение следов плоскости.
Для построения следов плоскости достаточно определить следы двух прямых линий (отрезков), принадлежащих этой плоскости. Рассмотрим построение следов прямой g на эпюре Монжа (смотри рисунок 2.1). Для решения этой задачи пользуемся следующим алгоритмом:
- чтобы найти горизонтальный след М прямой g сначала необходимо найти его фронтальную проекцию М2 как точку пересечения фронтальной проекции g2 прямой g с осью;
- недостающая горизонтальная проекция М1 совпадает с горизонтальным следом прямой g, то есть М≡М1;
- для нахождения фронтального следа N прямой сначала находим его горизонтальную проекцию N1, как точку пересечения горизонтальной проекции прямой g с осью;
- недостающая фронтальная проекция N2 совпадает с фронтальным следом N, то есть N ≡ N2
Рисунок 2.1
2.2.2 Определение угла наклона плоскости к плоскостям П1 и П2.
Прямые линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций П1 и П2 перпендикулярны соответственно горизонталям или фронталям этой плоскости. Рассмотрим случай определения угла наклона плоскости Σ, заданной прямой а и точкой С к горизонтальной плоскости проекций. Прямой угол, составленный линией наибольшего ската плоскости с ее горизонталью проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 без искажений. Для решения данной задачи (смотри рисунок 2.2):
- проведем через точку С горизонталь h (h1, h2);
- из любой точки, принадлежащей прямой а, восстанавливаем перпендикуляр к горизонтали h. Получаем А1К1 и А2К2 проекции перпендикуляра (А1К1 ┴ h);
- натуральную величину отрезка АК и угол его наклона к плоскости П1 находим по методу треугольника (смотри рисунок 2.2).
Рисунок 2.2
Как найти угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций смотри на рисунке 2.3
Рисунок 2.3
2.2.3 Определение натуральной величины треугольника методом вращения.
При решении метрических задач связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре (комплексном чертеже) фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям. Для этой цели обычно применяют один из двух способов: вращения или замены плоскостей проекций. Для решения задачи по определению натуральной величины треугольника воспользуемся способом вращения его вокруг одной оси. Если задаться целью: одним поворотом расположить треугольник параллельно плоскости П1, то за ось вращения следует принимать такую в плоскости треугольника, которая еще до вращения была бы параллельна горизонтальной плоскости проекций, то есть одну из ее горизонталей (смотри рисунок 2.4).
Рисунок 2.4
Построения выполняются в следующей последовательности:
- через точку С проведем горизонталь h (h2║ х1,2);
- из точек А1 и В1 восстанавливаем перпендикуляры к h1;
- строим проекции радиуса вращения одной из них (например А), это будут проекции А1О1 и А2О2;
- по двум проекциям определяем истинную величину радиуса вращения RА. В настоящем примере радиус определен методом вращения (его также можно определить методом треугольника);
- отрезок RА откладываем от точки О вдоль той прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины А;
- через полученную точку 
и неподвижную D1 проводим прямую до пересечения с прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины В и на их пересечении отмечаем точку 
;
- соединяя найденные точки и друг с другом и с неподвижной вершиной С1, получаем горизонтальную проекцию треугольника. Эта проекция определяет натуральную величину треугольника АВС;
- фронтальная проекция треугольника окажется преобразованной в прямую линию, совпадающую с С2D2.
2.3 Указания к выполнению задания:
- по координатам точек А, В и С, взятым с таблицы 2.1 по вариантам, изображаем комплексный чертеж плоскости Σ(АВС), при этом выбираем ось х, начало координат и масштаб так, чтобы изображение заняло большую часть поля чертежа (смотри приложение Е);
- для построения следов плоскости Σ(АВС) находим горизонтальные и фронтальные следы двух прямых (отрезков) плоскости Σ. В нашем примере выбираем отрезки СВ и СА. Как определить следы прямых смотри теоретический раздел 2.2.1;
- найдя горизонтальные и фронтальные следы двух прямых, соединяем одноименные прямой и получаем следы плоскости;
- определяем углы наклона плоскости Σ(АВС) к плоскостям П1 и П2 (смотри раздел 2.2.2). В нашем примере горизонталь и фронталь проведены через точку А.
Контрольные вопросы.
2.4.1 Что мы называем следом плоскости и как его определить на комплексном чертеже.
2.4.2 Как определить углы наклона плоскости к плоскостям проекций.
2.4.3 Определение натуральной величины треугольника методом вращения.
3 Расчетно-графическая работа по теме «Взаимное пересечение плоскостей»
Цель работы: приобрести навыки в решении позиционных задач на точку, прямую и плоскость. Научиться строить точки пересечения прямой общего положения с плоскостью и определять видимость геометрических элементов способом конкурирующих точек.
3.1 Задание: найти линию пересечения призмы плоскостью. (Призма задана координатами точек К, L, M, N и плоскость сигма задана координатами точек А, В, С). Координаты точек выбираем из таблицы 3.1.
Таблица 3.1 – Координаты точек
В миллиметрах
| № вар | A | B | C | K | L | M | N | ||||||||||||||
| x | y | z | x | y | z | x | y | z | x | y | z | x | y | z | x | y | z | x | y | z | |
Теоретический раздел
3.2.1 Пересечение прямой линии с плоскостью
При решении данной задачи необходимо четко различать следующие этапы ее выполнения (алгоритм):
- проведение анализа прямой и плоскости, участвующих в пересечении, выяснить какое положение они занимают в пространстве и если общее, то выполнить построение вспомогательной плоскости дельта (D), которую проводят через прямую а (а Ì D). В качестве вспомогательной плоскости рекомендуется брать одну из проецирующих (D ^ Õ1 Ú D ^ Õ2);
- построение линии пересечения вспомогательной плоскости дельта с заданной плоскостью сигма (n = DÇå);
- определение точки К как точки пересечения данной прямой а и построенной прямой n (аÇn = К)
- определение видимости прямой на плоскостях проекций.
На рисунке 3.1 дано аксонометрическое изображение прямой а, пересекающейся с плоскостью сигма, заданной треугольником АВС (å(АВС)). Точка пересечения К найдена с помощью вспомогательной (горизонтально-проецирующей) плоскости дельта (D^Õ1), которая с заданной плоскостью сигма пересекается по прямой (n = D Ç å). Искомая точка К пересечения прямой а с плоскостью треугольника определена как точка пересечения прямых а и n (К = а Ç n).
Рисунок 3.1
Как решается эта задача на эпюре Монжа, смотри на рисунке 3.2
Рисунок 3.2
На рисунке 3.3 рассмотрен еще один пример решения подобной задачи: определить точку пересечения прямой а с плоскостью
сигма, заданной двумя параллельными прямыми в и с (а Ç å(в|| с) =К).
Рисунок 3.3
Порядок (алгоритм) решения данной задачи выглядит следующим образом:
- через прямую а проведем вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость дельта (D^Õ2);
- вспомогательная плоскость дельта пересекает заданную плоскость сигма по прямой 1-2;
- находим проекции этой прямой сначала 12 22 (1222 º а1ºD2 ), потом11 и 21 (точка 1 принадлежит прямой в а точка 2 прямой с, следовательно их проекции принадлежат одноименным проекциям этих прямых);
- находим точку К пересечения прямой 12 с прямой а; 1121Ç а1=К1, К1 ® К2 (а Ç12) = К.
При выполнении эпюрных построений необходимо проявлять особое внимание к последней стадии решения, когда определяются проекции искомой точки.
Следует иметь в виду, что если в качестве вспомогательной секущей плоскости взята горизонтально – проецирующая плоскость, то первой из двух будет определена фронтальная проекция искомой точки (смотри рисунок 3.2). Применяя же фронтально-проецирующую плоскость, сначала находят горизонтальную проекцию К1, а затем К2 (смотри рисунок 3.3).
3.2.2 Определение видимости геометрических элементов способом конкурирующих точек.
Видимость для каждой плоскости проекций устанавливаем самостоятельно (рисунок 3.3). Начнем с фронтальной плоскости проекций. Рассмотрим фронтальную проекцию 12 точки 1. В ней как бы пересекаются прямые а и в, но они попали в одну точку на фронтальную плоскость проекций лишь потому, что в пространстве точки, принадлежащие прямым а и в находятся на одном перпендикуляре к плоскости Õ2. Если пройтись лучом сверху вниз, то мы увидим, что ближе к нам расположена прямая а, а прямая в за ней, следовательно, на Õ2 видим сначала а2, а потом в2. Видимость для горизонтальной плоскости проекций устанавливаем с помощью точки 3, принадлежащей прямой а и с (
). Пройдемся лучом снизу вверх и увидим, что точка 3, принадлежащая прямой с, ниже, чем точка 3 принадлежащая прямой а, следовательно, прямая а на данном участке выше и мы ее видим.
3.2.3 Пересечение двух плоскостей произвольного положения.
Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие для обеих плоскостей, либо одну точку и направление линии пересечения двух плоскостей.
Для того чтобы определить эти точки нужно найти точки пересечения любых двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, или точки пересечения прямой на каждой плоскости с другой плоскостью.
При решении этой задачи (вторая позиционная задача) пользуются алгоритмом, который составлен на основании общей схемы решения второй позиционной задачи. Общий вид алгоритма следующий:
- проводится вспомогательная поверхность, пересекающая заданные поверхности;
- определяется линия пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных поверхностей (m и n);
- отмечают точки пересечения построенных линий, которые и являются искомыми, так как они принадлежат одновременно заданным поверхностям.
Если пересекающиеся плоскости (или одна из плоскостей) заданы многоугольниками (смотри рисунок 3.4), то построение линии их пересечения значительно упрощается если вспомогательные проецирующие плоскости провести не произвольно, а через какие- либо две из сторон многоугольников. В нашем примере вспомогательные плоскости дельта перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций и проведены через стороны ЕD и EK, то есть решаем две задачи на пересечение прямой и плоскости (алгоритм решения этой задачи рассмотрен выше). Находим линию 12 пересечения плоскости дельта (D) с плоскостью треугольника АВС (DÇå(АВС) = 12). Точка М есть точка пересечения линии 12 со стороной DE (М = 12 Ç ЕD), а точка N результат пересечения прямой ЕК с линией 34. Прямая МN является линией пересечения двух треугольников. Видимость определяем с помощью конкурирующих точек (смотри 3.2.2).
Рисунок 3.4
3.2.4 Пересечение плоскости с многогранником
Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами исходного сечения. Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению прямых пересечения плоскости с гранями тела (как пересечение двух плоскостей). Рассмотрим задачу, когда необходимо определить линию пересечения трехгранной призмы плоскостью сигма, заданной двумя пересекающимися прямыми (рисунок 3.5).
Рисунок 3.5
Каждая из вершин построенного треугольника (МNL), определена как точка пересечения соответствующего ребра, с заданной плоскостью сигма.
N = АА1 Ç å
Для нахождения точки N проводим вспомогательную, горизонтально-проецирующую плоскость дельта, проходящую через ребро АА1. Она пересекает плоскость å по прямой 12. Построив 1222 определяем точку N2 и с помощью линии проекционной связи находим вторую проекцию точки N-N1. Аналогичные построения выполняем для нахождения точек M и L.
L = ВВ1Çå
M = СС1Çå
3.3 Указания к выполнению задания (образец выполнения работы смотри в приложении Ж).
На листе формата А3, расположение книжное, по координатам точек А В и С строим комплексный чертеж плоскости сигма.
По координатам точек К,М,N и L выполняем комплексный чертеж призмы. Все построения выполняются в тонких линиях. Определяем видимость ребер призмы и сторон треугольника.
Если призму пересечь плоскостью, то в сечении получится многогранник, число вершин которого зависит от того, сколько ребер пересекает секущая плоскость. В нашем задании секущая плоскость пересекает три ребра, следовательно, в сечении получится треугольник, каждая вершина которого находится как точка пересечения ребра с плоскостью å(АВС).
Р = КК1 Ç å
R = ММ1Ç å
S = NL Ç å
Рассмотрим нахождение точки Р: через ребро КК1 проведем вспомогательную горизонтально-проецирующую секущую плоскость дельта. Эта плоскость пересекает плоскость сигма по прямой 12, горизонтальная проекция которой совпадает с горизонтальной проекцией ребра и вспомогательной плоскости дельта (1121 º К1К'1ºD2 ). С помощью проекции линии связи находим 12 и 22. Искомая точка Р находится на пересечении прямой АВ и 12 (Р=АВÇ 12). Точки R и S находим аналогично. По точкам Р, R, S строим треугольник, который получается при пересечении призмы плоскостью сигма, но так как плоскость сигма ограничена треугольником АВС, то и линии пересечения будут ограничены сторонами треугольника. Отмечаем эти точки D и Е, G и F и определяем видимость (приложение Ж).
Следует обратить внимание на то, что данный способ решения не является единственным. Данную задачу можно решить методом замены плоскостей проекций.
3.5 Контрольные вопросы:
3.5.1 Алгоритм решения задачи на пересечение прямой и плоскости;
3.5.2 Алгоритм решения задачи на пересечение двух плоскостей;
3.5.3 Алгоритм решения задачи на пересечение многогранных поверхностей плоскостями.
4 Расчетно-графическая работа по теме «Взаимная перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей»
Цель работы: закрепить знания и навыки в построении проекций точек, прямых и плоскостей в соответствии с координатным способом их задания, приобрести навыки в решении позиционных задач на прямую и плоскость, научиться строить прямые и плоскости, параллельные и перпендикулярные заданным плоскостям, а также приобрести умение определять натуральную величину отрезка прямой по его комплексному чертежу.
4.1 Содержание работы:
4.1.1 Определить расстояние от точки D до плоскости сигма заданной треугольником АВС.
4.1.2 Построить плоскость тэта, параллельную плоскости сигма и находящуюся на половине расстояния от точки D до плоскости сигма.
4.1.3 Через вершину В плоскости сигма провести плоскость дельта перпендикулярно отрезку АС и построить линию пересечения двух плоскостей (сигма и дельта).
Данные для выполнения задания берем по вариантам из таблицы 4.1
Таблица 4.1 - Координаты точек
В миллиметрах
| № Вар. | F | B | C | D | ||||||||
| x | y | z | x | y | z | x | y | z | x | y | z | |
