Задача о стрелках и геометрические вероятности

Рассмотрим следующую задачу. Какова вероятность того, что при броске 2-х костей сумма очков больше или равна 8.

Решение. Всего имеется 36 элементарных исходов. В клетках указаны суммы очков. Клеток, где сумма больше или равна 8 ровно 15. Таким образом, .

Можно истолковать решение и несколько иначе. В комнату, пол которой покрыт 36-ю ковриками одинаковой площади, бросают монету. На ковриках написано количество очков. Вероятность выпадения не менее чем 8 очков равна отношению площади ковриков с надписями 8, 9, 10, 11 и 12 к общей площади комнаты, то есть . Такой подход позволяет перейти от классических равновероятных исходов Паскаля к более общему случаю.

Нужно отметить, что недостаточность классического определения была отмечена уже в самом начале развития теории вероятностей. При этом были рассмотрены геометрические вероятности. Общая схема здесь такова: в область G наудачу бросается точка и вычисляется вероятность того, что эта точка попадёт в её меньшую внутреннюю область g. При этом словам «наудачу» придаётся следующий смысл: вероятность попадания в область пропорциональна мере (длине, площади, объёму) данной области, т. е. .

С помощью геометрических вероятностей можно интерпретировать задачи, имеющие негеометрическое содержание. Более того, с помощью этой модели можно разъяснить важнейшее понятие теории вероятности – понятие независимых событий. Под независимостью интуитивно понимается, что одно событие не влияет на другое. Развивая подобные идеи, А. Н. Колмогоров создал аксиоматическую теорию вероятностей.

Рассмотрим процесс стрельбы, производимой одним стрелком. Геометрической моделью этого процесса сделаем процесс бросания точки на отрезок единичной длины, который разбит на две части длиной p и q (p + q = 1). Если точка попадает в первый отрезок, то событие соответствует попаданию стрелка в мишень (с вероятность p), соответственно, попадание точки в отрезок q соответствует промаху стрелка (с вероятностью q). Прежде всего, отметим, что p и q могут быть иррациональными числами, т.е. быть несоизмеримыми. Это обозначает, что задача не может быть сведена к классической вероятности.

Теперь рассмотрим стрельбу двух стрелков. Первый из них попадает с вероятностью и промахивается с вероятность , а второй с вероятностями и .

Решим вопрос о том, какова вероятность того, что оба стрелка одновременно попали в свои мишени. Будем совместный выстрел рассматривать как бросание точки в единичный квадрат. Проекция точки на стороны квадрата определяют, попал ли каждый из стрелков. Геометрическая модель сразу показывает, что исходы стрельбы двух стрелков определяются произведениями соответствующих вероятностей.

Оба попали – вероятность ; первый попал, второй промазал – ; первый промазал, второй попал – ; оба промазали – вероятность .

Если вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятностей этих событий, события называются независимыми. В задаче с двумя стрелками как раз и имеет место независимость событий. И с интуитивной точки зрения они стреляют независимо друг от друга, и с математической – вероятности перемножаются.

Если стреляют два стрелка, событий четыре. Они перечислены выше. Если же стреляют три стрелка, то есть к двум добавляется третий, то каждое событие для двух стрелков превращается в два: два стрелка стреляли именно так, при этом третий либо попал, либо не попал. Значит, для трёх стрелков событий 8. Легко понять, что для n стрелков событий .

Для трёх стрелков события таковы: все трое попали, не попал только первый, не попал только второй, не попал только третий, попал только первый, попал только второй, попал только третий, все трое не попали. (Куб разрезан на 8 частей).

Чтобы получить полное решение задачи о трёх стрелках, то есть для вычисления вероятностей всех восьми событий, нужно перемножить три скобки (найти объём каждой из восьми составляющих куб частей):

 

(p₁ + q₁) (p₂ + q₂) (p₃ + q₃) =

= p₁p₂p₃ + q₁p₂p₃ + p₁q₂p₃ + p₁p₂q₃ + p₁q₂q₃ + q₁p₂q₃ + q₁q₂p₃ + q₁q₂q₃.

 

Часто требуется найти вероятности объединённых событий, например, событие «попал только один стрелок» складывается из трёх событий «попал только первый», «попал только второй», «попал только третий». Его вероятность равна p₁q₂q₃ + q₁p₂q₃ + q₁q₂p₃.

Аналогичным способом, перемножая скобки, можно решить задачу о нескольких стрелках.

Одним из вариантов задачи о многих стрелках является задача об одном стрелке, который стреляет несколько раз. Здесь вероятности попаданий (р) и промахов (q) одинаковы в каждой скобке. Для перемножения скобок можно использовать бином Ньютона.

Наиболее естественный вопрос в данном случае, какова вероятность того, что цель при n выстрелах поражена 0 раз, 1 раз, …. n раз. Каждое из этих событий можно рассматривать как объединение событий более простых событий. Например, событие «стрелок попал один раз» состоит из событий типа «стрелок попал первым выстрелом, остальными промахнулся», «стрелок попал вторым выстрелом, остальными промахнулся» и т. д.

Можно рассматривать не только стрельбу, но и любые повторные независимые испытания с двумя исходами, например, бросание монеты. Успех – выпадение орла (р = 0,5), неудача – выпадение решки (q = 0,5).

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если при каждом испытании имеется только два возможных исхода и вероятности этих исходов остаются неизменными для всех испытаний. Принято называть исходы успехом (с вероятность р) и неудачей (с вероятностью q=1 – p).

Бернулли – семья швейцарских потомственных математиков. Наиболее крупными из них были братья Якоб и Иоганн, которые как раз первыми и избрали карьеру математиков. Их дети не достигли такого же уровня. Якоб – один из родоначальников теории вероятностей. Он и придумал схему испытаний Бернулли.

Пусть в схеме испытаний Бернулли проводятся n испытаний. Число успехов может быть равно 0, 1, 2, …, n. Используя бином Ньютона легко вычислить вероятность того, что при n испытаниях наступит ровно m успехов

 

.

 

Итак, вероятность того, что число успехов при n испытаниях равно m такова: P_m = . Если рассмотреть все вероятности событий от нуля до n успехов будет получено так называемое биномиальное распределение вероятностей.

 

 

Биномиальное распределение для ста испытаний при р = 0,5.

 

Тот факт, что сумма вероятностей всех исходов равна 1, следует из формулы для бинома Ньютона: .

В Excel вероятности при испытаниях Бернулли можно вычислить с помощью функции Бином.Расп(). Параметр «Интегральная» полагают равным 0.