Понятия об аналитических методах

ЛЕКЦИЯ № 5

 

Пример - Исходные данные:

- кинематическая схема механизма, построенная в масштабе в заданном положении (рисунок 2.17а);

- угловая скорость звена , 1/с.

Последовательность построения плана скоростей.

Абсолютная скорость точки А₁ на конце ведущего звена 1

.

Так как переносного (поступательного) движения первого звена нет, то V _O1 =0, и

.

Масштабный коэффициент плана скорости, (м/с)/мм

.

Из произвольно-выбранной точки P_V (полюса плана скоростей) (рисунок 2.17б) строим вектор скорости перпендикулярно О₁А₁ в направлении угловой скорости . Так как V₀₁ = 0, точка О₁ на плане скоростей совпадают с полюсом P_V.

Скорость точки А₂, принадлежащей звену 2, равна V_A2 = V_A1. Скорость точки О₂ V₀₂ = 0.

Скорость средней точки первой группы Ассура – точки А₃ определяем через скорости крайних точек этой группы А₂ и О₂. Причем точка А₃ принадлежит звену 3 и в данный момент совпадает с точками А₁ и А₂.

Скорость точки А₃ относительно точки А₂ .

Вектор в этом уравнении выступает как вектор скорости в переносном движении. Величина и направление его известны. Вектор представляет собой относительную скорость звена 3 относительно звена 2 (скорость скольжения) – параллельно звену О₂А₃. Величина этой скорости неизвестна. Поэтому из конца вектора на плане скорости проводим линию действия скорости параллельно звену О₂А₃.

Скорость точки А₃ относительно точки О₂

,

где - вектор скорости звена 3 в переносном (поступательном) движении вместе с точкой О₂. Так как , то точка О₂ совпадает с полюсом плана скоростей P_V.

- вектор скорости относительного (вращательного) движения точки А₃ относительно точки О₂ перпендикулярно звену О₂А₃.

Планы механизма, скоростей и ускорений

 

 

Рисунок 2.17

Величина неизвестна, так как неизвестна угловая скорость звена 3 - . Поэтому из полюса P_V (из точки О₂) проводим линию действия скорости перпендикулярно О₂А₃. Точка пересечения двух линий действий и определяет на плане скоростей положение точки А₃.

Отрезок представляет собой вектор скорости точки А₃, . Соответственно находим вектор .

По свойству подобия на плане скоростей точку В, которая принадлежит звену 3 и звену 4, то есть является крайней точкой второй группы Ассура.

Точки А₃, О₂ и В, принадлежащие звену 3, образуют фигуру треугольника с направлением обхода вершин против часовой стрелки и углом 90⁰ при вершине О₂. На плане скоростей строим треугольную фигуру а₃P_Vв, подобную фигуре А₃О₂В плана положения звена, но повернутую относительно ее на 90⁰.

Для этого перпендикулярно отрезку проводим отрезок , длина которого определяется из соотношения

,

откуда

Мм.

Отрезок представляет собой вектор скорости точки В, то есть . Скорость другой крайней точки второй группы Ассура – О₃ (неподвижной направляющей звена 5) V_O3 = 0 и находится в полюсе P_V.

Скорость средней точки второй группы Ассура – С определяем через скорости крайних точек этой группы В и С_О (совпадающей с точкой С_4,5). Скорость точки С относительно точки В

,

где - вектор скорости переносного (поступательного) движения звена ВС, величина и направление его известны.

- вектор относительной скорости точки С при вращении его вокруг точки В. Линия действия перпендикулярно звену СВ.

Величина неизвестна, так как не известна угловая скорость звена 4. Поэтому из конца вектора на плане скорости проводим линию действия скорости перпендикулярно звену СВ.

Скорость точки С относительно неподвижной точки С_О

где - вектор скорости точки С_О (совпадающей с точкой С_4,5) на неподвижной направляющей в переносном движении. Так как V_Co = 0, то точка С_О совпадает с полюсом плана скорости P_V.

- вектор скорости в относительном (поступательном) движении звена 5 относительно направляющей О₃О₃, параллельно направляющей.

По величине V_CСo не известна. Поэтому из полюса P_V проводим линию действия скорости параллельно О₃О₃. Точка пересечения двух линий действия и определяет на плане скоростей положение точки С. Отрезок представляет собой вектор скорости точки С, то есть и .

По свойству подобия находим положения центров тяжести весомых звеньев на плане скоростей. Центр тяжести звена 4 лежит на прямой ВС на плане положения механизма, поэтому соответствующая ей точка на плане скоростей лежит на прямой, проходящей через точки в и с. При этом длина отрезка вS₄ (мм) на плане скорости определяется соотношением

,

откуда

.

Вектор скорости точки S₄ определяется отрезком P_VS₄, то есть

.

Истинные (абсолютные) значения скоростей точек механизма, м/с

Абсолютные величины угловых скоростей звеньев, 1/с

,

,

где , м.

Для определения направления угловой скорости звена 3 вектор , то есть вектор относительной скорости точки А₃ при вращении ее относительно точки О₂, переносим с плана скоростей на звено 3 в точку А₃ и рассматриваем вращение этого звена вокруг точки О₂ (по часовой стрелке). Аналогично, перенося вектор скорости с плана скорости в точку С звена 4 на план механизма, рассматриваем вращение звена 4 вокруг точки В (против часовой стрелки).

Построение плана ускорения. Исходные данные:

- кинематическая схема механизма (рисунок 2.17а);

- угловая скорость звена 1 - , 1/с;

- план скорости для заданного положения (рисунок 2.17б).

Последовательность построения (рисунок 2.17в).

Абсолютное ускорение точки А₁

.

Так как переносного (поступательного) движения звена 1 нет, то а_О1 = 0 и так как угловая скорость , то угловое ускорение звена 1 и тангенциальное .

Поэтому

.

Масштабный коэффициент плана ускорений, (м/с²)/мм

.

Из произвольно выбранной точки Р_а (полюса плана ускорений) (рисунок 2.17в) строим вектор ускорения параллельно А₁О₁ в направлении от А₁ к О₁. Так как а_О1 = 0 точка О₁ на плане ускорения совпадает с полюсом Р_а.

Ускорение средней точки первой группы Ассура (точка А₃) определяем через ускорения крайних точек этой группы А₂ и О₂.

Точка А₃ принадлежит звену 3 и в данный момент совпадает с точками А₁ и А₂.

Ускорение точки А₃ относительно точки А₂

.

Вектор в этом уравнении является вектором ускорения в переносном движении. Величина и направление его известны.

- ускорение Кориолиса, возникающее в результате того, что переносное движение звена 3 является не поступательным, а вращательным вместе со звеном 2.

- релятивное ускорение в относительном движении точки А₃ по отношению к точке А₂ (ускорение скольжения). Линия действия параллельно звену А₃О₂.

Величина ускорения Кориолиса определяется по модулю формулой

,

где - угловая скорость переносного движения;

V_A3A2 – скорость точки А₃ относительно точки А₂.

Длина вектора, изображающего ускорение Кориолиса на плане ускорений, равна, мм

.

Для определения направления ускорения Кориолиса надо вектор относительной скорости повернуть на 90⁰ по направлению угловой скорости переносного движения (рисунок 2.17б). Поэтому из конца вектора на плане ускорения строим вектор ускорения Кориолиса найденной длины в найденном направлении. Из конца вектора проводим линию действия релятивного ускорения параллельно звену А₃О₂.

Ускорение точки А₃ относительно точки О₂

,

где - ускорение точки О₂ в переносном движении звена 3, , т.к. точка О₂ неподвижна.

- нормальное ускорение точки А₃ в относительном ее вращении вокруг точки О₂. Направлено параллельно А₃О₂ от точки А₃ к точке О₂.

Величина нормального ускорения определяется по модулю следующим образом, м/с²

.

Длина вектора, изображающего нормальное ускорение на плане ускорения, равна, мм:

.

- тангенциальное ускорение точки А₃ в относительном вращении вокруг точки О₂. Линия действия – перпендикулярно звену А₃О₂. Величина тангенциального ускорения по модулю не известна, так как не известно угловое ускорение звена 3

.

Потому из полюса плана ускорения (из точки О₂) строим вектор нормального ускорения найденной длины в найденном направлении. Из конца вектора проводим линию действия тангенциального ускорения перпендикулярно А₃О₂.

Точка пересечения двух линий действия и определяется на плане ускорений положение точки А₃.

Отрезок представляет собой вектор ускорения точки А₃, то есть , мм. Соответственно находим из плана ускорений вектора и мм.

По свойству подобия находим на плане ускорений точку В, которая принадлежит звену 3 и звену 4, то есть является крайней точкой второй группы Ассура. Для этого на плане ускорения строим треугольную фигуру а₃Р_ав, подобную фигуре А₃О₂В плана положения звена 3 (направление обхода против часовой стрелки), то есть перпендикулярно отрезку а₃Р_а проводим отрезок Р_ав, длина которого определяется из соотношения

,

откуда

.

Отрезок Р_ав представляет собой вектор ускорения точки В, т.е.

.

Ускорение другой крайней точки второй группы Ассура О₃ (неподвижной направляющей звена 5) а_О3 = 0 и находится в полюсе Р_а.

Ускорение средней точки второй группы Ассура С определяем через ускорения крайних точек этой группы В и С_о (совпадающей с точкой С_4,5).

Ускорение точки С относительно точки В

,

где - вектор ускорения точки В в переносном движении. Величина и направление его известны, мм;

- вектор нормального ускорения точки С в относительном ее вращении вокруг точки В. Направлено параллельно ВС от точки С к точке В.

Величина нормального ускорения по модулю, м/с²

.

Длина вектора, изображающего нормальное ускорение на плане ускорения, равна, мм

.

- тангенциальное ускорение точки С в относительном ее вращении вокруг точки В. Линия действия - перпендикулярно СВ.

Величина тангенциального ускорения по модулю не известна, так как не известно угловое ускорение звена 4

.

Поэтому из конца вектора ускорения строим вектор нормального ускорения , найденной длины в найденном направлении. Из конца вектора проводим линию действия тангенциального ускорения перпендикулярно СВ.

Ускорение точки С относительно точки С_о

,

где - вектор ускорения точки С_о на неподвижной направляющей и совпадающей с точкой С в переносном движении. Так как а_Со = 0, то точка С_о находится в полюсе Р_а.

- кориолисово ускорение точки С относительно точки С_о на неподвижной направляющей О₃О₃ равно нулю, так как .

- релятивное ускорение точки С в поступательном движении относительно точки С_о.

Таким образом, абсолютное ускорение . Величина ускорения не известна. Линия действия параллельно С_оО₃. Поэтому из полюса Р_а проводим линию действия ускорения параллельно С_оО₃. Точка пересечения двух линий действия и определяет на плане положение точку С. Отрезок представляет собой вектор ускорения точки С, то есть . Соответственно на плане ускорения находим длину вектора .

По свойству подобия находим положение центров тяжести весомых звеньев на плане ускорения. Центр тяжести звена 4 лежит на звене ВС на плане положения механизма. Поэтому соответствующая ей точка на плане ускорения лежит на прямой, проходящей через точки в и С. При этом длина отрезка на плане ускорения определяется из соотношения

,

откуда

,

где и - отрезки на плане ускорения, мм;

и – отрезки на плане механизма, мм

Вектор ускорения точки S₄ определяется отрезком P_aS₄, то есть мм.

Пользуясь планом ускорения, определяем истинные (абсолютные) значения ускорений точек механизма м/с²

Абсолютные величины угловых ускорений звеньев, 1/с²

Для определения направления углового ускорения звена 3 (рисунок 2.17в) вектор тангенциального ускорения переносим с плана ускорения на звено 3 в точку а₃ и рассматриваем вращение этого звена вокруг точки О₂ (по часовой стрелке).

Аналогично, перенося вектор ускорения с плана ускорения на план механизма в точку С относительно точки В (против часовой стрелки).

Понятия об аналитических методах

Аналитический метод применяется для глубокого исследования механизмов с большой точностью.

Цель: получить математическую зависимость между перемещениями, скоростями и ускорениями ведомого звена п и перемещением ведущего звена и длинами звеньев

Достоинства: большая точность.

Недостатки: малая наглядность, большая сложность.

Все разновидности общих аналитических методов кинематического исследования рычажных механизмов можно свести к двум основным (базовым) методам:

- метод замкнутого векторного контура разработанный В.А.Зиновьевым;*

- метод преобразования координат с использованием матриц, предложен­ный Ю.Ф.Морошкиным.**

Сущность методов заключается в определении функции положения интересующей нас точки К на произвольном звене - п (рисунок 2.18).

В случае механизма с одной степенью подвижности положение любого звена -пи любой точки на нем К однозначно определяется в зависимости от угла поворота ведущего звена (или перемещения , который принимается за обобщенную координату , т.е.

Рисунок 2.18

____ * Зиновьев Вячеслав Андреевич (1899-1975 гг.) - автор учебника по ТММ.

** Морошкин Юрий Федорович (1903-1977 гг.) - предложил общий метод структурного и кинематического анализа механизмов.

где r_к - радиус-вектор точки К механизма;

П_к - функция положения рассматриваемой точки К; - координата 1 звена.

1-я производная от функции положения по называется первой

передаточной функцией или аналогом скорости

Вторая передаточная функция или аналог ускорения

 

Передаточная функция, как и функция положения, являются чисто геометрическими характеристиками и выражаются в функции , а не в функции времени.

Если отвечает угловой координате, то размеренность передаточных функций совпадает с размеренностью функции положения П_к - м.

Связь геометрических характеристик с кинематическими определяется следующими зависимостями. Скорость точки К

где П_к = V_K - аналог скорости точки К, имеющий размерность длины, м Ускорение точки К

где - аналог ускорения точки К, имеющий размерность длины.

Таким - образом, задачи кинематического исследования сводятся к определению функций положения и передаточных функций (или аналогов скоростей и ускорений), по известным . Если

Если начальное звено совершает поступательное движение, то обобщенной координатой является перемещение - S.

Если звено - п совершает вращательное движение, то его угловая скорость - и угловое ускорение определяется:

функция положения звена

угловая скорость

 

где - аналог угловой скорости звена n (величина безразмерная).

В зубчатых передачах передаточной функцией является передаточное отношение

Угловое ускорение

где - аналог углового ускорения звена п (величина

безразмерная).

Для цикловых механизмов т.е. при