Основные правила приближенных вычислений

Некоторые общие рекомендации по решению физических задач

1. Знание теории необходимое, но еще не достаточное условие для успешного решения задач.

2. Надо уметь анализировать физическую ситуацию, изложенную в условии задачи и связанную с данным физическим явлением. А это умение приобретается только на опыте, т.е. при решении задач. Таким образом, научиться решать задачи, можно только их решая. Кроме того, в этом случае происходит более глубокое усвоение знаний по физике. Теоретические знания человека, которые он не может применить на практике, ничего не стоят. Они бесполезны!

3. Решение задач - это процесс творческий.

4. Хотя общего единого правила (алгоритма) решения задач не существует, тем не менее есть смысл придерживаться при их решении определенного порядка.

а) Внимательно прочитать условие задачи и сделать его краткую (математическую) запись.

б) Обдумать условие задачи. Уяснить физические процессы, о которых идет речь. Вспомнить каким закономерностям они подчиняются. Идя от искомых (неизвестных) величин, наметить примерный путь решения задачи.

в) Сделать чертеж, схему, рисунок с обозначениями данных и искомых величин. Помните: это не самоцель, а помощь в решении задачи. Ошибка в чертеже, как правило, ведет к ошибке при решении задачи.

5. Используя физические формулы, отвечающие содержанию данной задачи, необходимо записать уравнение или систему уравнений, связывающих данные и искомые величины.

6. Решать задачу надо в общем виде, т.е. делать алгебраические преобразования до тех пор, пока не получится уравнение, в левой части которого стоит неизвестная величина, а в правой - известные или табличные величины. Это уравнение называют рабочей или расчетной формулой.

7. Проверить полученную формулу по размерности. Хотя верная размерность искомой величины еще не гарантирует правильность решения, однако неверная размерность означает наличие в решении ошибки.

8. Числовые значения величин в рабочую формулу необходимо подставлять в одной системе единиц. Тогда ответ получится в этой же системе.

9. Вычисления необходимо производить с соблюдением правил приближенных вычислений. Чтобы не было разночтений, приведем главные из них.

Основные правила приближенных вычислений

1. Число называется точным или приближенным в зависимости от того, точное или приближенное значение величины оно выражает. Числа, полученные в результате измерения величин, как правило, приближенные.

2. По правилу, предложенному академиком А.Н. Крыловым, приближенный результат следует записывать так, чтобы последняя его цифра указывала на точность; все цифры, кроме последней, должны быть верными, и лишь в последней (сомнительной) допустима ошибка не более, чем на одну единицу. Например, если длина отрезка l» 10,35 м, то это означает, что она измерена с точностью до 0,01 м (или 1 см). Если а» 3,1542, то это означает, что число а задано с точностью до 0,0001. (На практике, нередко, при записи приближенных чисел вместо знака «»» пишут знак «=».)

3. Значащими цифрами приближенного числа, записанного в десятичной форме, называются все его цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля. Например, приближенное число 3,402 имеет четыре значащие цифры; число 0,031 - две значащие цифры. В случае чисел с нулями на конце, например 125 000, возникает вопрос о том, для чего служат нули - для обозначения значащих цифр или для определения разряда остальных цифр. Чтобы избежать путаницы, договоримся о следующем:

а. если в числе 125 000 шесть значащих цифр, то его надо записывать именно так. Эта запись означает, что оно задано с точностью до 1;

б. запись 1,25 × 10⁵ означает, что в данном числе три значащих цифры, т.е. оно задано с точность до 1 000;

в. если в числе 125 000 четыре значащих цифры, то запись будет такой: 1,250 × 10⁵, т.е. число задано с точностью до 100.

4. При округлении данного числа с точностью до n - го разряда последняя сохраняемая цифра (цифра n -го разряда) не меняется, если цифра, следующая за ней, меньше 5, и увеличивается на 1, если цифра, следующая за ней, не меньше 5.

5. При сложении и вычитании приближенных чисел следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном числе, имеющим наименьшее число десятичных знаков (т.е. в числе с наибольшей абсолютной погрешностью). Именно этой наибольшей погрешностью и определяется погрешность суммы или разности.

Пример.

Найти сумму приближенных чисел 2,38035; 0,0342; 51,247018 и 5,3

2,38035

+ 0,0342

+ 51,247018

5,3

58,961568» 59,0

6. Более рационально поступать так: все приближенные числа округляют с точностью на 1 десятичный знак больше, чем в слагаемом с наименьшим числом десятичных знаков, складывают их и результат округляют в соответствии с правилом 5, т.е.

2,38

+ 0,03

+ 51,25

5,3

58,96» 59,0

7. При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их содержит приближенное число, имеющее наименьшее количество значащих цифр. На практике, чтобы не делать лишней работы, поступают так: данные числа округляют с точностью на один порядок выше, чем требует правило 5. Производят с ними действия умножения или деления и результат округляют в соответствии с правилом 5.

8. При возведении приближенных чисел в степень в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени.

9. При извлечении корней в результате следует оставить столько значащих цифр, сколько их содержится в подкоренном выражении.

10. Если следует выполнить различные действия над приближенными числами, заданными с разной степенью точности, то предварительно их все округляют, сохраняя лишь одну запасную цифру по сравнению с тем числом, которое задано с наименьшей точностью. Аналогично округляются результаты всех промежуточных действий. В конечном результате запасная цифра отбрасывается по правилам округления.