Вопросы по курсу Математический анализ.
Понятие множества.
2. Понятие функции. Основные свойства функций: ограниченность функций, чётность и нечётность функций, периодичность функций, монотонность функций.
- Сложные функции, обратные функции.
4. Числовая последовательность и её предел. Теорема о единственности предела.
- Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- Предел последовательности. Теорема (о пределе монотонной ограниченной последовательности).
7. Предел функции в точке. Арифметические свойства пределов.
- Односторонние пределы.
9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
10. Замечательные пределы.
11. Понятие непрерывности функции (два определения). Непрерывность в точке справа и слева. Свойства непрерывных функций.
Точки разрыва функции и их классификация.
Свойства функций, непрерывных на отрезке. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
Производная функции в точке. Геометрический смысл производной. Теорема о необходимом условии существования производной.
15. Свойства производной функции. Теоремы о производной сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций.
16. Логарифмическая производная.
17. Производная функции, заданной параметрически.
18. Производная неявной функции.
19. Производные высших порядков.
20. Дифференциал функции.
Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма.
22. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ролля.
23. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Лагранжа.
24. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Коши.
Правило Лопиталя.
Исследование функций с помощью производной. Монотонность функций. Теоремы о необходимом и достаточном условии монотонности функции.
- Исследование функций с помощью производной. Экстремумы функции. Теоремы о необходимом и достаточном условии экстремума.
Исследование функций с помощью производной. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Исследование функций с помощью производной. Выпуклость функции. Теорема о необходимом и достаточном условии выпуклости.
Исследование функций с помощью производной. Точки перегиба. Теоремы о необходимом и достаточном условии перегиба.
Исследование функций с помощью производной. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные наклонные).
- Формула Тейлора.
33. Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.
- Функции нескольких переменных. Определение, график функции, линии уровня.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функции нескольких переменных.
Частные производные функции нескольких переменных.
- Дифференциалы функции нескольких переменных. Полный дифференциал.
Частные производные высших порядков функции нескольких переменных.
- Производные сложной функции нескольких переменных.
40. Производная по направлению.
41. Градиент.
- Выпуклость функций нескольких переменных. Теорема о необходимом и достаточном условии выпуклости. Теорема о достаточном условии строгой выпуклости.
- Экстремум функции двух переменных. Теоремы о необходимом и достаточном условиях экстремума.
44. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.
- Первообразная функции. Теорема о множестве первообразных функции. Неопределенный интеграл.
46. Основные свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов.
Метод непосредственного интегрирования.
Метод интегрирования по частям.
Метод замены переменной.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
Интегрирование тригонометрических функций.
- Определенный интеграл. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница).
- Теорема о достаточном условии интегрируемости. Теоремы о необходимом условии интегрируемости.
- Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- Методы вычисления определённого интеграла.
- Несобственные интегралы на бесконечном промежутке интегрирования.
- Несобственные интегралы от функции, неограниченной на отрезке.
