Моделирование суммы двух и более равномерно распределенных случайных величин

Рассмотрим распределение суммы двух случайных величин, имеющих прямоугольное распределение на примере игры « Крепс ». Смысл игры состоит в подбрасывании двух игральных костей, вычислении суммы выпавших очков и определении условий игры.

Очевидно, что для одной кости выпадение каждой из шести граней (и, таким образом, цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6) игральной кости является событием равновероятным и равным 1/6. Такой же вывод можно сделать и для второй игральной кости. Для удобства анализа сделаем кости различными, окрасив их, скажем, в красный и зеленый цвета. Тогда подбрасывание двух костей имеет 6*6=36 равновероятных исходов, которые приведены ниже в таблице 1.

Таблица 1

Зеленая кость
К
р
а
с
н
а
я

В выделенных клетках таблицы 1 указана соответствующая сумма очков. Рассчитаем распределение вероятности P суммы очков при одновременном подбрасывании двух костей. В таблице 2 представлены результаты такого расчета.

Таблица 2

Сумма, С
Вероятность, Р	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Проанализируем график зависимости вероятности суммы очков Р от величины этой суммы. На рисунке 3 представлена эта зависимость.

Рисунок 3 - Зависимость вероятности суммы очков, от величины суммы очков

Из рисунка 3 видно, что вероятность Р суммы очков игральных костей описывается треугольным распределением. Таким образом, при суммировании двух случайных событий, имеющих равномерное распределение, получается распределение близкое к треугольному.

При рассмотрении суммы m случайных величин, имеющих прямоугольное распределение, обнаруживается, что при повышении значения m (m =6 и более), получаемое распределение стремится к нормальному распределению, т.е. к распределению, описываемому законом Гаусса.

Моделирование Распределения Максвелла

Распределение Максвелла для скоростей газовых молекул доказано из предположения о распределении проекции скоростей молекул по нормальному закону (1). При этом случайная величина η абсолютного значения скорости записывается через компоненты скорости как

. (4)

В настоящей работе для трех случайных величин η_i (m = 6) строится гистограмма и сравнивается с функцией распределения (3).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Запустите программу ModelMax, ярлык программы находится на рабочем столе.

На экране монитора ЭВМ возникнет открывающееся меню «Модель распределения Максвелла», в котором появятся окошки выбора условий проведения модельного эксперимента:

· Окошко выбора температуры в кельвинах (К) и интервал изменения температур (1-900);

· Окошко выбора массы молекул газа (а.е.м.) и интервал изменения а.е.м. (1-100);

· Окошко значения постоянной Больцмана (Дж/К);

· Окошко со значением числа молекул и интервал числа молекул при проведении модельного эксперимента (5-2500);

· Кнопка «Старт», предназначенная для запуска программы моделирования распределения Максвелла при заданных условиях модельного эксперимента;

· Кнопка «Выход» для выхода из программы и окончания работы.

2. Внимательно изучите меню перед началом работы. Клавиша < F1 > вызывает встроенную справку. В окошках уже имеются значения, принимаемые по умолчанию. Вам их надо заменить. О том, как это делается, прочтите во встроенной справке.

3. Установите газ - водород, температуру - 273 К, число молекул - 500.

4. Для запуска модели щелкните мышью по кнопке «Старт» или нажмите клавишу < Enter >. На экране монитора появится окно, в котором будут:

· Окошко с изображением графической информации (гистограммы и функции распределения Максвелла), над которым изображен ползунок для задания температуры и изменения ее в процессе проведения эксперимента;

· Окошко для наблюдения за характером движения молекул рассматриваемой модели термодинамической системы. Учтите, что динамическая модель движения молекул строится в плоскости XY без учета составляющей Z и не в реальном масштабе времени и скоростей молекул (определите почему);

· Значения рассчитанных наиболее вероятной, средней и среднеквадратичной скоростей молекул при заданных температурах (нижняя часть окна).

5. Для получения более подробной справки об окне моделирования нажмите клавишу < F1 >.

6. Проведите модельный эксперимент для различных газов (водорода, гелия, азота, кислорода, радона и др.) при различных температурах и различном числе молекул (по заданию преподавателя). Проанализируйте характер изменения гистограмм, вид теоретической кривой распределения молекул по скоростям при изменении температуры, числа молекул и вида газа. Результаты расчета скоростей для различных газов при различных температурах запишите в таблицу 3.

7. Изобразите графики функции распределения Максвелла для одного из исследуемых газов при различных температурах и числе молекул, равном 2500.

8. Сделайте краткие выводы по работе.

Таблица 3

Газ	Температура, К	Наиболее вероятная скорость, Vв, м/с	Средняя скорость, <V>, м/с	Среднеквадратичная скорость, Vкв, м/с
Водород
Гелий
Азот
Кислород
Радон

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Запишите функцию распределения молекул (распределение Максвелла) по скоростям для идеального газа.

2. Определите среднюю, наиболее вероятную и среднеквадратическую скорости.

3. Поясните физический смысл функции распределения.

4. Определите по графику относительное число молекул, скорости которых больше или меньше определенной скорости.

5. Рассчитайте относительное число молекул, скорости которых находятся в интервале скоростей от 0 до ∞.

6. Объясните методику исследования распределения молекул по скоростям. Поясните моделирование равномерного, треугольного и гауссова распределения. Докажите на примере игры «Крепс» переход от равномерного к треугольному распределению случайных событий.