Характеристики МПС с общей памятью

Определим характеристики МПС на основе модели рис 1.

 

 

Пусть в МПС поступает М потоков с интенсивностями ,…, . Обслуживание заявок сводится к выполнению соответствующих программ, средние трудоемкости которых равны ,…, операций в расчете на один прогон программы. Примем, что обслуживание заявок выполняется на основе дисциплины FIFO. В таком случае можно считать, что система обслуживае однородный поток заявок, поступающих с интенсивностью

(1)

 

Для обслуживания любой заявки из суммарного потока требуется в среднем

(2)

процессорных операций.

Примем, что заявка, поступившая на обслуживание, захватывает процессор до полного завершения обслуживания. В таком случае средняя длительность обслуживания заявки процессором с быстродействием В равна и интенсивность обслуживания заявок одним процессором .

Параметры системы , N и должны отвечать условию существования стационарного режима, при котором в очереди пребывает конечное число заявок и, следовательно, конечны времена ожидания и пребывания заявок. На каждый из процессоров поступает N-я доля заявок и, следовательно, отдельный процессор обслуживает поток с интенсивностью . Загрузка процессора

 

, (3)

 

где - суммарная интенсивность обслуживания заявок N-процессорной системой.

Стационарный режим существует, если . Следовательно, параметры МПС должны отвечать соотношению .

Характеристики системы можно получить в явной аналитической форме, если принять предположение о том, что входящий поток заявок – пуассоновский и длительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону со средним .

В теории массового обслуживания доказывается, что при указанных предположениях вероятность пребывания в системе N=0,1,2,… заявок, обслуживаемых процессорами и стоящих в очереди

 

(4)

 

где

(5)

 

- вероятность того, что в системе нет ни одной заявки, т.е. все N процессоров простаивают; R – суммарная загрузка N-канальной системы равная

(6)

 

Суммарная загрузка R в отношении N-канальной системы массового обслуживания определяет среднее число каналов, которые заняты обслуживанием заявок. Для стационарного режима R<N. С учетом 1.6 выражения 1.4 и 1.5 можно представить в виде:

 

(7)

 

(8)

 

где – загрузка процессора N-процессорной системы.

 

Характер изменения вероятностей P_n при изменении суммарной загрузки четырехпроцессорной системы представлен на рис. 2.

Распределение числа заявок в системе носит унимодальный характер, причем с увеличением загрузки максимальное значение P_n сдвигается в сторону больших N.

 

 

 

Распределение (7) содержит всю информацию, необходимую для определения характеристик МПС. Средняя длина очереди заявок, ожидающих обслуживания в N-процессорной системе находится исходя из (7) как математическое ожидание случайной величины i=n-N>0, равной числу заявок в очереди:

 

 

, (9)

где р₀ определяется (8).

Среднее число заявок, пребывающих в системе

m=l+R, (10)

где l – среднее число заявок, находящихся в очереди и определяемое (9); R – суммарная загрузка МПС, определяемая (6).

Для систем без потерь заявок среднее время ожидания и среднее время пребывания заявок в системе равны соответственно w=l/ и u=m/ . Подставляя в эти соотношения выражения (9) и (10), получим:

; (11)

(12)

или с использованием (6)

(13)

 

Одна из важных характеристик системы – вероятность ненулевого ожидания заявок Pr (w>0), т.е. вероятность того, что в момент поступления очередной заявки все N процессоров заняты обслуживанием. Эта вероятность

(14)

 

Из сравнения (11) и (14) вытекает следующее выражение для среднего времени ожидания заявок:

 

(15)

 

В свою очередь, вероятность нулевого ожидания заявок, т.е. вероятность того, что в момент поступления заявки хотя бы один процессор свободен, равна Pr (W=0) = 1-Pr (W>0).

 

2.2 ХАРАКТЕРИСТИКИ МПС С ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ПАМЯТЬЮ

 

В МПС с индивидуальной памятью множество программ обслуживания и связанных с ними данных P={P₁,…,P_M} разделяется на подмножества , размещаемые в памяти соответствующих процессоров Пр₁,…,Пр_N. В результате этого каждый из процессоров ориентируется на обслуживание заявок определенных типов, а именно тех, программы обслуживания которых размещены в памяти процессора. Режим работы МПС, при котором каждый из процессоров обслуживает заявки определенных типов и не может обслуживать заявки других типов, называется режимом разделения функций.