Елементи аналітичної механіки

Приклад 1. Вказати правильну відповідь.

Якщо механізм (рис. 9), розміри ланок якого становлять , , знаходи-ться в рівновазі під дією заданої сили і пари силз моментом M, то величина цього мо-менту буде дорівнювати:

1) ;2) ;

3) ; 4) .

Розв’язання. У даному прикладі, враховуючи умову рівноваги механізму в заданому його положенні, треба визначити величину моменту пари М, виразивши її через величину сили P.

Якщо розв’язувати цей приклад методом геометричної статики, то механізм як систему тіл треба роз’єднати (по шарнірах А і В) на три окремих тіла, скласти для кожного з них по три рівняння рівноваги і знайти із отриманих 9-ти рівнянь невідомий момент М.

Значно простіше розв’язання прикладу можна провести за допомогою метода аналітичної статики – принципу можливих переміщень, який дозволяє описати рівновагу вказаної механічної системи (як системи з одним ступенемвільності)? лише одним рівнянням рівноваги і знайти із цього рівняння неві-домий момент М.

Суть принципу можливих переміщень така: для рівноваги механічної сис-

теми з ідеальними стаціонарними утримуючими? в’язями необхідно і до-статньо, щоб сума елементарних робіт активних сил на будь-якому мо-жливому (із положення рівноваги) переміщенні системи дорівнювалась ну- лю: .

П р и м і т к а. Можливе переміщення системи – це сукупність нескінченно малих уявних переміщень точок і тіл системи, які дозволяються в даний момент часу в’я-зями, накладеним на систему, без їх порушення.

Слід зауважити, що напрямки можливих переміщень точок і тіл системи не залежать від сил, які на них діють, а визначаються лише в’язями, що накладені на систему.

Тут можлива робота сили на можливому переміщенні визна-чається за формулою , де – кут між напрямком сили і напрямком можливого переміщення точки прикладення сили. Причому вектор можливого переміщення точки завжди спрямований по дотичній до траєкторії можливого руху цієї точки.

Можлива ж робота моментусили або моменту пари сил обчислюєть-ся за формулою , де – можливе кутове переміщення ті-ла, до якого прикладений момент.

Для складання рівняння рівноваги заданої механічної системи треба спо-чатку надати їй одне з можливих переміщень, які дозволяються в’язями.

На систему накладені такі в’язі: зовнішні – це нерухомі шарніри в точках О і О₁; внутрішні – це шарніри в точках А і В, що з’єднують тіла системи між собою. Ці в’язі дозволяють стержню ОА здійснювати поворот у площині малюнка навколо точки О, стержню О₁В – аналогічний поворот навколо точки О₁, а стержню АВ – плоскопаралельний рух у вказаній площині. Силові ж елементи утримують систему в рівновазі. Із вказаного положення рівноваги система має два можливих переміщення; оберемо одне з них, наприклад, таке: стержень ОА може уявно повернутися навколо точки О на нескінченно малий кут “проти” годинникової стрілки (рис. 10); тоді точка А стержня отримує лінійне можливе переміщення , яке спрямовано по дотичній до траєкторії її можливого руху – кола з радіусом ОА, тобто спрямовано перпендикулярно до стержня ОА () у бік повороту на кут . При цьому точка B системи отримує відповідне можливе перемі-щення , що спрямоване перпендикулярно до стержня О₁B () вліво, а стержень О₁B отримує можливе переміщення “проти” годинникової стрілки відповідно напрямку (рис. 10).

Далі відповідно принципу можливих переміщень складемо рівняння рів-новаги механічної системи.

Оскільки в’язі, що накладені на точки та тіла системи, ідеальні (шарніри без тертя, стержні не деформуються), утримуючі та стаціонарні?, то рів-няння рівноваги складаємо у вигляді: .

У прикладі активне навантаження, що діє на систему (механізм) скла-дається із сили та пари сил з моментом . Тоді їх робота на обраному можливому переміщенні системи обчислюється таким чином:

; .

Тут кут – це кут між напрямком сили і напрямком переміщення (рис. 10); робота моменту пари від’ємна, оскільки цей момент спрямо-ваний проти напрямку можливого кутового переміщення .

Тоді рівняння рівноваги набуває такого вигляду:

Для того, щоб в останньому виразі не фігурували нескінченно малі мож-ливі переміщення і , їх необхідно зв’язати і виразити одне через друге, наприклад, через . При цьому треба мати на увазі, що зв’я-зок між можливими переміщеннями тіл та точок системи аналогічний кінема-

тичному зв’язку між відповідними швидкостями.

Спочатку зв’яжемо переміщення і співвідношенням враховуючи, що можливий рух стержня О ₁ В обертальний.

Оскільки точки A і B належать стержню AB, можливий рух якого плоско-паралельний, то їх можливі переміщення зв’яжемо за допомогою виразу, який аналогічний теоремі про проекції швидкостей двох точок тіла (під час його плоскопаралельного руху) на пряму, що з’єднує ці точки. Тобто спро-ектуємо можливі переміщення вказаних точок на пряму АВ і прирівняємо ці проекції (рис. 10) .

Оскільки , то і .

Тоді після підстановки вказаних співвідношень рівняння рівноваги має вигляд або , звідки .

Довжину стержня O ₁ B знайдемо із прямокутного трикутника OAK:

. Тоді .

Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь

Якщо механізм знаходиться в рівновазі в положенні,

вказаному на рисунку, то сила дорівнює:

Розв’язання. В даному прикладі розглядається механізм у якому до кривошипа ОА у точки А прикладена вертикальна сила Р та треба знайти з умов рівноваги горизонтальну силу , яка прикладена до повзуна В (Рис.10). Розглянемо рівновагу всього механізму і застосуємо принцип можливих переміщень. Надамо механізму можливого переміщення. Для точки А можливе переміщення направлено по дотичної до траєкторії, тобто перпендикулярно кривошипу ОА, який обертається навколо точки О, а можливе переміщення направлено вздовж руху повзуна В.

За допомогою принципу можливих переміщень маємо:

Звідси

Тепер знайдемо залежність між можливими переміщеннями і . Як у попереднім прикладі спроектуємо можливі переміщення на пряму яка їх з’єднає і запишемо

Звідси

Тоді підставив одержану залежність між можливими переміщеннями отримуємо

Із наведених в прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).

Приклад 3. Вказати правильну відповідь.

Якщо балка АD (рис. 14) зна-ходиться в рівновазі під дією двох сил Р ₁= 20 кН, Р ₂= 12 кН і пари

сил з моментом М = 24 кН·м, а значення параметра a = 2 м, то ре-

акція опори С дорівнює: 1) кН; 2) кН; 3) кН; 4) кН.

Розв’язання. У даному прикладі розглядається рівновага балки АD, яка представляє собою систему двох сполучених тіл − АВ і ВD, що з’єднані між собою шарніром В. Відомо навантаження, що діє на балку; треба визначити реакцію шарнірно-рухомої опори в точці С. Величину реакції зручно знайти із умови рівноваги цієї конструкції, що складається за принципом можливих переміщень: .

Попередньо систему треба уявно звільнити від в’язі в точці С і її дію замінити силою − реакцією в’язі . Реакція шарнірно-рухомої опори спря-мована перпендикулярно до площини котіння котків і в даному випадку діє по вертикалі вгору (рис. 15). Цю реакцію треба включити до групи активних сил, що діють на систему, і скласти умову рівноваги системи у вигляді суми можливих робіт активних сил. Таким чином, вказана група активних сил тут буде складатися із сил і пари сил з моментом М.

Далі треба надати системі можливе переміщення, враховуючи типи в’язей, що нак-ладені на неї (рис. 15). Шарнірно-нерухома опора в точці А дозволяє балці АВ можливе ку-тове переміщення в площині малюнка навколо точки А за годинниковою стрілкою і проти. Оберемо можливий напря-

мок повороту балки АВ за годинникоковою стрілкою; тоді точки K і В балки отримують можливі переміщення і , що спрямовані перпендикулярно до радіусів обертання АК і АВ у бік обраного напрямку повороту. Шарнірно-рухома опора в точці D дозволяє балці ВD можливе кутове переміщення навколо точки D, і відповідно напрямку можливого переміщення вона отримує можливе кутове переміщення , що спрямоване проти годинникової стрілки (рис.15). При цьому точки С і Е отримують можливі переміщення і , що перпендикулярні їх радіусам обертання і спрямовані у бік можливого кутового переміщення . Можливе положення заданої конструкції показано на рис. 15 пунктирною лінією; тут же схематично показані і напрямки можливіх переміщень її точок і тіл.

Складемо для даного випадку рівняння рівноваги конструкції − балки AD – за принципом можливих переміщень:

;

Щоб визначити невідому силу треба останнє рівняння перетвори-ти, виключивши із нього нескінченно малі множники ; для цього тре-ба виразити в рівнянні усі можливі переміщення через якесь одне − наприк-

лад, зручно через можливе переміщення точки В, яка є спільною точкою для двох частин АВ і ВD конструкції. Вказане перетворення можна зроби-ти, встановивши зв'язок між можливими переміщеннями, що фігурують в рі-внянні. Цей зв'язок буде аналогічним кінематичному зв’язку між швидкос-тями точок механічної системи. Оскільки можливий рух тіл АВ і ВD − обе-ртальний, то співвідношення між можливими переміщеннями будуть наступ-ними:

; ; ; .

Тоді ; ; ; .

Після підстановки останніх виразів в рівняння рівноваги отримуємо:

або ,

звідкіля набуваєтакого значення:

кН.

Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).

Приклад 4. Вказати правильну відповідь

Якщо механічна система (рис. 16) складається із однорідного диска А та вантажу Свідповідно масою m_А = 10 кг та m_С = 4 кг (маса диска В m_В = 0 кг), то при значенні прискорення тіла С a_C = 2 м ·c^-2 сума робіт усіх сил інерції на можливому переміщенні дорівнює:

Н·м

4) = − 15,5 Н·м

Розв’язання. В даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тіла А, В і C ), які зв’язані між собою тросом. Система має одну ступень вільності. В’язі, яки накладені на систему – ідеальні. Треба знайти роботу сил інерції на можливому переміщенні Це запитання зв’язано з використанням в задачах загального рівняння динаміки:

де – сума елементарних робіт активних сил; - сума елементарних робіт сил інерції. Для знаходження елементарної роботи сил інерції зображаємо

сили інерції (рис.12) у протилежному напрямку можливому переміщенню

При цьому помічаємо, що тіло С здійснює поступальний рух і відповідно має тільки силу інерції - , тоді як тіло А здійснює плоский рух і має не тільки силу інерції - , а і момент інерції - . Момент сил інерції !!!

Величини сил інерції дорівнює: !!!

m_С ; !!!!

де момент інерції диска А відносно центральної осі z_О, який дорівнює − його кутове прискорення; - відповідно прискорення тіл А і С. Тоді момент сил інерції запишемо як

Тепер запишемо роботу сил інерції на можливому переміщенні:

Потім підставимо значення сил інерції

m_С

Виразімо всі можливі переміщення через відоме .

та підставимо їх в вираз можливої роботи сил інерції

m_С

Величини прискорень та виразимо через відоме . Зв'язок між прискореннями такий ж як між можливими переміщеннями

Підставимо одержані вирази в вираз можливої роботи сил інерції m_С

Підставимо значення величин и получімо відповідь:

4+ 10)= 15,5 (Н·м).

Із наведених в прикладі відповідей правильною буде відповідь 4).

Приклад 5.

Вказати вірну відповідь

Якщо механічна система (рис. 18) складається із ступінчастого диску В з радіусом інерції ρ_в = 2R м

(R_В= Rм; r_В= 0,5 R м) масою m_В = 10 кг та двох вантажів А і С відповідно масою m_А=m_С = 4 кг, то при значенні прискорення тіла С a_C = 2 м ·c^-2 сума робіт усіх сил інерції на можливому переміщенні дорівнює:

Н·м

4) = − 15,5 Н·м

Розв’язання. В даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тіла А, В і C ), які зв’язані між собою тросом. Система має одну ступень вільності. В’язі, яки накладені на систему – ідеальні. Треба знайти роботу сил інерції на можливому переміщенні Як у попереднім прикладі запитання зв’язано з використанням в задачах загального рівняння динаміки:

де – сума елементарних робіт активних сил; - сума елементарних робіт сил інерції. Для знаходження елементарної роботи сил інерції зображаємо сили інерції (рис.14) у протилежному напрямку можливому переміщенню При цьому помічаємо, що тіла А і С здійснюють поступальний рух і відповідно має тільки сили інерції - , тіло В здійснює обертальний рух і має момент інерції - .

Величини сил інерції дорівнює:

де момент інерції ступінчаcтого диска В відносно центральної осі z_О, який дорівнює − його кутове прискорення; - відповідно прискорення тіл А і С. Тоді момент сил інерції запишемо як .