Рівняння Лагранжа другого роду для системи з одним

Ступенем вільності

Приклад 1. Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g вважати рівним 10м/с²; обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр).

Якщо кінетична енергія системи (рис. 20)

як функція узагальненої швидкості становить

, а за узагальнену обрана коорди-

ната q = S_A, то при значенні маси тіла А

m_A= 10 кг, радіуса диска r_B = 0,2 м, коефіцієн-

та тертя μ_А = 0,1 і обертального моменту

М _об = 14 Н·м величина прискорення тіла А до-

рівнює:

1) a_А = 2,34 м/с²; 2) a_А = 7,25 м/с²;

3) a_А = 1,11 м/с²; 4) a_А = 0,84 м/с².

Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної систе-ми, що складається з двох тіл: тіла А, яке переміщується поступально по нахиленій площині, і тіла В − диска, який обертається навколо центральної осі, що спрямована перпендикулярно до площини диска. Треба по відомим параметрам тіл механічної системи і параметрам сил, що діють на систему, знайти прискорення тіла А, якщо задана кінетична енергія системи як функція узагальненої швидкості і задана узагальнена координата. Дані прикладу свідчать про те, що для його розв’язання треба використати рівняння Лагранжа другого роду.

Як відомо із теоретичного матеріалу, кількість рівнянь Лагранжа, що описують рух механічної системи, залежить не від числа тіл в системі, а від числа ступенів вільності системи.

Оскільки задана механічна система має один ступінь вільності, то її рух буде описувати одне рівняння Лагранжа, яке можна представити в тако-му вигляді:

Тут T − кінетична енергія системи, яка в цьому рівнянні в загальному випадку фігурує як функція узагальненої кординати і узагальненої шви-дкості − , а Q − узагальнена сила.

П р и м і т к а.Треба зауважити, що в математичному смислі наведене рівняння Лагранжа другого роду є диференціальним рівнянням руху механічної системи відносно узагальненої координати. В це рівняння Лагранжа узагальнена координата надходить під знаком другої похідної за часом − − і за фізичним смислом є узагальненим прискоренням.

Узагальнена сила Q може бути обчислена із виразу: , де − повна елементарна робота усіх сил, що діють на систему на її за-даному можливому переміщенні; − варіація узагальненої кординати, то-бто нескінченно мале прирощення узагальненої координати у фіксований момент часу, що відповідає можливому переміщенню системи завдяки такій зміні узагальненої координати.

Розв’язуючи даний приклад, треба спочатку скласти вираз лівої части-ни рівняння Лагранжа, взявши відповідні похідні від заданого виразу кіне-тичної енергії системи:

; .

Оскільки задана узагальнена координата q = S_A характеризує положен-ня тіла А системи, то її похідна за часом буде узагальненою швидкістю, то-бто за фізичним смислом це буде швидкість тіла А: . Тоді друга похідна за часом від узагальненої координати − це буде узагальнене прискорення, тобто за фізичним смислом це буде прискорення тіла А, яке треба знайти: .

У даному прикладі кінетична енергія системи не залежить від узагальненої координати, тому відповідна похідна буде дорівнювати нулю:

Далі треба визначити узагальнену силу системи по заданій узагальненій координаті. Для цього треба зобразити на рисунку усі сили, що діють на тіла системи (рис. 21); надати системі можливе переміщення − таке, щоб задана узагальнена координата у фіксований момент часу получила нескінченно мале додатне прирощення; потім треба визначити сумарну роботу усіх сил на заданому можливому переміщенні системи і визначити узагальнену силу.

Сили, що діють на тіла системи (див. рис. 21), це сили ваги тіл системи , , складові реакції нерухомого шарніра , , складові реакції шорсткої площини , , пара сил з обертальним моментом .

Надамо системі можливе переміщення − таке, щоб узагальнена коорди-ната получила нескінченно мале додатне прирощення , тобто провар’їруємо узагальнену координату. Тоді тіло А отримує можливе перемі-щення , яке спрямоване у бік зростання координати , тобто уверх по площині. Диск В при цьому отримує можливе кутове переміщення , що спрямоване проти годинникової стрілки.

На вказаному можливому переміщенні системи підрахуємо суму мож-ливих робіт усіх сил. Сили , , можливу роботу не виконують, бо вони прикладені до нерухомої точки С, можливе переміщення якої дорівнює нулю (). Сила на можливому переміщенні роботу теж не виконує, оскільки спрямована перпендикулярно до цього переміщення.

Тоді . Тут можлива робота сили обчислюється за формулою:

Можлива робота сили тертя може бути представлена виразом:

Значення сили тертя можна розрахувати так:

Н.

Остаточно можлива робота сили тертя дорівнює:

Можлива робота обертального моменту М _об обчислюється за форму-лою: ; знак цієї роботи буде додатним, бо напрямок дії моменту співпадає з напрямком можливого кутового переміщення диска. Вказане кутове переміщення треба виразити через варіацію узагальненої ко-ординати : . Тоді можлива робота моменту становить:

Отже, сумарна можлива робота усіх сил буде такою:

П р и м і т к а. Із теоретичного матеріалу відомо, що узагальнена сила по певній узагальненій координаті дорівнює коефіцієнту при варіації цієї узагальненої координати у виразі повної можливої роботи діючих на систему сил.

Таким чином, узагальнена сила в даному випадку дорівнює коефіцієн-ту при варіації у виразі сумарної можливої роботи сил, тобто Н.

Слід зауважити, що тут узагальнена сила має розмірність сили, оскі-льки узагальнена координата − лінійна величина (вимірюється в метрах).

Тоді, остаточно, рівняння Лагранжа набуває такого вигляду:

Це диференціальне рівняння другого порядку відносно узагальненої координати, яке описує рух заданої механічної системи. Знаходимо з нього шукане прискорення: м/с².

Отже, із чотирьох наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь. Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.

Якщо механічна система (рис. 22) складається із

трьох тіл, маси яких m_А = 10 кг, m_В = 6 кг, m_D = 4 кг

(R_В = 0,5 м; r_В = 0,2 м; ρ _В = 0,4 м), то при обранні за уза-

гальнену координату кут повороту диска В

вираз кінетичної енергії системи як функції узагальне-

ної швидкості має вигляд:

1) ;2) ;

3) ; 4) .

Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної систе-ми, що складається з трьох тіл: тіла А та тіла D, які переміщуються поступа-льно, і тіла В − диска, який обертається навколо центральної осі, що спрямована перпендикулярно до площини диска. Система має один ступінь вільності і її положення в будь-який момент часу буде характеризуватися однією узагальненою координатою. Треба по відомим параметрам тіл системи скласти вираз кінетичної енергії системи і представити її як функцію узагальненої швидкості. Оскільки в умові прикладу узагальнена координата задана − це кут повороту диска В – , то узагальненою буде кутова швидкість цього диска .

Визначимо кінетичну енергію системи; при цьому швидкості усіх тіл виразимо через узагальнену − :

Обчислимо по відомим формулам кінетичну енергію кожного тіла окремо:

; ; ;

; кг·м²; ;

; ; ;

Тоді кінетична енергія системи дорівнює:

В позначеннях аналітичної механіки кінетичну енергію системи як фу-нкцію узагальненої швидкості слід представити в такому вигляді:

Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде від-повідь 2).

Приклад 3. Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g вважати рівним 10м/с²; обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр).

Якщо в механізмі (рис. 23) два стер-

жні однакової довжини ОА = АВ = 0,5 м

з’єднані між собою шарніром А, до яко-

го прикріплено вантаж D масою m_D =

8 кг, і на поршень В діє стала горизон-

тальна сила = 50 Н, то узагальненаси-

ла ,що відповідає узагальненій коор-

динаті в момент часу, коли кут

дорівнює25º, набуває значення:

1) 78 Н·м; 2) 15 Н·м;

3) 20 Н·м; 4) 44 Н·м.

Розв’язання. У даному прикладі розглядається механічна система, що складається з чотирьох тіл: стержнів ОА і АВ, поршня В та вантажа D. Сис-тема має один ступінь вільності і її положення в будь-який момент часу бу-де характеризуватися однією узагальненою координатою. Треба по відомим параметрам тіл системи і параметрам сил, які діють на систему, визначити узагальнену силу, що відповідає заданій узагальненій координаті . Як випливає із рис. 23, − це кутова координата, яка характеризує положення стержня ОА механізму по відношенню до горизонту і в заданому положенні системи . Оскільки в умові прикладу маси стержнів не задані, то їх

при розрахунках треба вважати невагомими. Під час розв’язання прикладу слід враховувати види можливих рухів тіл системи у площині малюнка: можливий рух стержня ОА − обертальний навколо точки О, стержня АВ − плоскопаралельний, поршня В і тіла D − поступальний.

Щоб визначити узагальнену силу системи, зобразимо на рисунку усі сили, які діють на неї (рис. 24). Далі треба надати системі можливе пере-міщення і визначити на ньому сумарну можливу роботу усіх сил.

Надамо системі таке можливе переміщення, при якому задана узагаль-нена координата у фіксований момент часу получає нескінченно мале додатне прирощення − у напрямку за годинниковою стрілкою (рис. 24). Тоді точка А системи получає можливе переміщення , яке спрямовано по дотичній до траєкторії можливого руху цієї точки, тобто по дотичній до кола з центром в точці О і радіусом ОА, а значить спрямоване перпендикулярно до стержня ОА у бік напрямку (див. рис. 24).

Можна вважати, що на переміщенні виконує роботу сила ваги , оскільки тіло D зв’язано з шарніром А тросом, що не розтягується. При цьому відповідно напрямку поршень В получає можливе переміщення , що спрямовано вздовж горизонталі вліво (рис. 5). На переміщенні треба розрахувати роботи сил і , що прикладені до поршня.

Отже, обчислимо повну можливу роботу усіх діючих на систему сил:

;

В наведених виразах можливі переміщення і слід виразити че-

рез варіацію узагальненої координати δ q, яка за фізичним смислом відпові-дає можливому переміщенню . Кінематичний зв'язок між вказаними можливими переміщеннями такий самий як і між відповідними швидкостями: ; по аналогії з теоремою про проекції швидкостей двох точок тіла (у випадку його плоскопаралельного руху) на пряму, що з’єднує ці точки, запишемо рівність проекцій можливих переміщень точок А і В стержня АВ на пряму АВ (рис.24) − ; звідси

Тоді ;

Остаточно повна можлива робота усіх діючих на систему сил становить:

У цьому виразі коефіцієнт при варіації δ q і є узагальненою силою зада-ної системи: Н·м. Слід зауважити, що тут узагальнена сила має розмір-ність моменту, оскільки узагальнена координата вимірюється в радіанах (безрозмірна величина).

Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде від-повідь 2).

3. Тестові завдання для самопідготовки студентів
до комп’ютерного тестування

Завдання 1. Вказати правильну відповідь.

Якщо механічна система (рис. 25) складає-ться із вантажа А масою m_А = 2 кг та однорідного диску В радіусом R_В = 0,5 м і масою m_В = 6 кг, а швидкість тіла А становить V_A = 2 м /c, то кіне-тичний момент системи відносно осі z, що проходить перпендикулярно до площини диска через його центр мас С, дорівнює:

1) Н·c·м; 2) Н·c·м;

3) Н·c·м; 4) Н·c·м.

Завдання 2. Вказати правильну відповідь.

Якщо точка А масою m_А = 1 кг (рис. 26) рухається за законом м вздовж хорди ( м) однорідного диска В масою m_В = 10 кг і радіусом R = 0,6 м, який обертається навколо центральної осі z зі сталою кутовою швидкістю рад/c, то кінетичний момент системи відносно осі обертання у початковий момент часу t ₀ = 0 c дорівнює:

1) Н·c·м; 2) Н·c·м;

3) Н·c·м; 4) Н·c·м.

Завдання 3. Вказати правильну відповідь.

Якщо механічна система (рис. 27) складається із двох дисків – ступінчастого диска В з радіусами R_В = 0,4 м, r_В = 0,2 м і масою m_В = 0 кг і однорідного диска А масою m_А = 10 кг та вантажу D масою m_D = 4 кг, а значення швидкості тіла D дорівнює м /с, то кінетична енергія системи становить:

Вычислить!!!!

1) Дж; 2) Дж; 3) Дж; 4) Дж.

Завдання 4. Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g вва-жати рівним 10 м/с²).

ω_В

Якщо механічна система (рис. 28) складається із

ступінчастого диска В з радіу-сами R_В = 0,4 м, r_В = 0,2 м і масою m_В =10 кг, однорідного диска А масою m_А = 10 кг та вантажу D масою m_D = 4 кг, а коефіцієнт тертя тіла D має значення µ _D =0,4 і кут

, то сумарна робота зовнішніх сил, що діють на систему на переміще-нні

м, становить:

1) Н·м; 2) Н·м;

3) Н·м; 4) Н·м.

вычислить!!!!

Завдання 5. Вказати правильну відповідь.

Якщо механізм (рис. 28) знаходиться в рівновазі під дією сили та пари сил з моментом М в положенні, зображеному на рисунку, а ОА = 2 a, то

вказаний момент дорівнює:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Завдання 6. Вказати правильну відповідь (обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр).

Якщо механізм (рис. 30) знаходиться в рівновазі під дією сил і в положенні, вказаному на рису-нку, а величина сили становить 2кН, то сила

дорівнює:

1) кН; 2) кН;

3) кН; 4) кН.

Завдання 7. Вказати правильну відповідь.

Якщо механічна система (рис. 31) складається із вантажу A і однорідного диска D

відповідно масою m_А = 4 кг і m_С = 1 кг та ступінчастого диска В з радіусами R_В = 0,4 м,

r_В = 0,2 м (маса m_В = 0 кг), а прискорення тіла A має значення a_A = 2 м /с², то сума ро-

біт усіх сил інерції на можливому переміщенні становить:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Завдання 8. Вказати правильну відповідь.

Якщо механічна система (рис. 32) складається із вантажів А і С з масами m_А = 1 кг і m_С = 4 кг та ступінчастого диска В з радіусом інерції (R_В = 0,4 м; r_В = 0,2 м) масою m_В = 10 кг, а прискорення тіла С становить a_C = 2 м /c², то сума робіт усіх сил інерції на можливому переміщенні дорівнює:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Завдання 9. Вказати правильну відповідь.

Якщо балка АD (рис. 33) зна-ходиться в рівновазі під дією двох сил Р ₁= 20 кН, Р ₂= 12 кН і пари

сил з моментом М = 24 кН·м, а значення параметра a = 2 м, то ре-

акція опори D дорівнює: 1) кН; 2) кН; 3) кН; 4) кН.

Завдання 10. Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g вважати рівним 10 м/с²).

Якщо кінетична енергія системи (рис. 34)

як функція узагальненої швидкості дорівнює

, а за узагальнену обрана кутова

координата q =φ _В, то при значенні мас тіл А і

D m_A= 12 кг, m_D= 6 кг, радіуса диска r_B = 0,5 м,

коефіцієнта тертя μ _D = 0,2 і кута нахилу пло-

щини до горизонту α = 45ºкутове прискорен-

ня диска В становить:

1) ε _В = 2,34 рад/с²; 2) ε _В = 7,25 рад/с²;

3) ε _В = 1,11рад/с²; 4) ε _В = 0,84 рад/с².

Завдання 11. Вказати правильну відповідь (обчислення проводити з точні-стю до трьох значущих цифр).

Якщо механічна система (рис.35) складає-

ться із трьох тіл, маси яких m_А = 16 кг, m_В = 6 кг

(r_В = 0,4 м), m_D = 8 кг, а за узагальнену обрана ліні-

йна координата q = S_A, що характеризує положен-

ня тіла А, то вираз кінетичної енергії системи як

функції узагальненої швидкості має вигляд:

;2)

;

Рис.35

S_A

;4)

Завдання 12. Вказати правильну відповідь (обчислення проводити з точні-стю до трьох значущих цифр).

Якщо на механізм (рис. 36) в заданому його положенні діють пара сил з моментом М = 80 Н·м (ОА = 1 м) і горизонтальна сила F = 35 Н, а за узагальнену обрана лінійна координата , що характеризує положення поршня В, тоузагальненасила цієї механічної системи становить: