Интегрирование некоторых иррациональностей

Рациональной функцией R (x) называется функция, равная отношению двух многочленов:

, (1)

Где m, n – целые положительные числа; b_i, a_j ÎR; , .

Если m < n, то R (x) называется правильной дробью, если m ³ n, - неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби: ,

где , - многочлены; - правильная дробь; l < n.

Например, .

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Поэтому в дальнейшем рассматрим функции R (x) при условии m < n.

Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четырех типов:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ,

Где A, a, M, N, p, q – постоянные числа; k – целое, k ³ 2; p ²-4 q < 0.

Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся легко:

Методику нахождения интегралов от простейших дробей третьего типа рассмотрим на примере:

Задача 5. Найти

Решение. Функция, стоящая под знаком интеграла является простейшей дробью, так как дискриминант выражение стоящее в знаменателе <0. Поэтому сначала выделам в числителе производную знаменателя:

Представили интеграл в виде суммы двух интегралов, рассмотрим каждый из них по отдельности.

В знаменатели дроби второго интеграла выделим полный квадрат:

Возвращаясь к первоначальному интегралу:

Задача 6.Найти

Решение. На основании теоремы о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей имеем: При и находим, что , , т.е. A = 1/4, B = 1/2.

Для вычисления значения C приравняем в тождестве коэффициенты при .

Получим 0 = A + C, т.е. C = -1/4.

Окончательно имеем

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

Интеграл вида

где R – рациональная функция, a, b, c, d – постоянные, r_i, s_i – целые положительные числа, , приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной u с помощью подстановки: