Вычисление пределов функции

· Непосредственное вычисление состоит в том, что вместо аргумента x подставляется его предельное значение, и выполняются все необходимые операции.

· Раскрытие неопределенности вида состоит в сокращении дроби на множитель, стремящийся к нулю, при этом, если:

§ в числителе и знаменателе дроби многочлены, то их следует разложить на линейные множители или, если квадратное уравнение приведенное

§ под знаком предела иррациональное выражение (выражение, содержащее корень), то следует числитель и знаменатель умножить на сопряженный множитель [например, для получения формулы (a – b)(a + b)= a ²– b ²].

§ под знаком предела находится тригонометрическое выражение, то следует его преобразовать так, чтобы дробь сократилась.

Задача 1.Вычислить предел:

Решение: подставим в дробь, стоящую под знаком предела, x =2:

Задача 2. Вычислить предел:

Решение: при непосредственной подстановке x =4 в дробь, получаем неопределенность вида . Разложим квадратные трехчлены в числителе и в знаменателе на множители.

x ²-6 x + 8 = 0 По т. Виета Þ x ₁=4, x ₂=2 x ²-5 x + 4 = 0 По т. Виета Þ x ₁=1, x ₂=4

Тогда: .

Задача 3. Найти следующие пределы:

3.1. a) ;б) ;

3.2. a) ;б) ;

3.3. a) ;б) ;

3.4. a) ;б)

3.5. a) ;б)

3.6. a) ;б)

3.7. a) ;б)

3.8. a) ;б)

3.9. a) ;б)

3.10. a) ;б)

Практическое занятие №4

Первый замечательный предел

Предел вида называется первым замечательным пределом.

Следствия:

1. , 2. , 3. ,

4. , 5. , 6. ,

7. .

Задача 1. Вычислить предел:

Решение:При непосредственной подстановке имеем неопределенность вида . Преобразуем дробь, стоящую под знаком предела так, чтобы задача была сведена к первому замечательному пределу:

[т.к. и числитель, и знаменатель полученной дроби представляет собой первый замечательный предел].

Задача 2.

2.1. a) ;б) ;

2.2. a) ;б) ;

2.3. a) ;б) ;

2.4. a) ;б) ;

2.5. a) ;б) ;

2.6. a) ;б) ;

2.7. a) ;б) ;

2.8. a) ;б) ;

2.9. a) ;б) ;

2.10. a) ;б) ;

2.11. a) ;б) ;

Практическое занятие № 5,6

Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывной функции. Точки разрыва. Глобальные свойства непрерывных функций

Непрерывность в точке

Определение 1. Пусть функция y = f (x) определена в точке х ₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

Определение 2. функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х ₀ и ее окрестности и выполняется равенство , где , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Задача 1. Исследовать на непрерывность функцию y =sin x.

Решение. Функция y =sin x определена при любом х. Возьмем произвольную точку х и найдем приращение D у:

Тогда , т.к. произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции (б.м.ф.) есть б.м.ф.

2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке.

Определение 3. Функция y = f (x) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение 4. Функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в интервале (a, b) и в каждой точке х = a непрерывна справа (т.е. ), а в точке х = b непрерывна слева (т.е. ).

3. Точки разрыва функции и их классификация.

Определение 5. Точки в которых нарушается непрерывность функции называются точками разрыва этой функции.

х = х ₀ – точка разрыва если не выполняется по крайней мере одно из условий определения 1, а именно:

1. функция определена в окрестности точки х ₀, но не определена в самой точке. (например, ).

2. функция определена в точке х ₀ и ее окрестности, но не существует предела f (x) при х ® х ₀.

Задача 2. Задана функция у = f (x). Найти точки разрыва, если они существуют. .

Решение. Функция определена в точке х =2 (f (2)=0), однако в точке х =2 имеет разрыв, так как односторонние пределы при х ®2 слева и справа не равны между собой:

, .

3. функция определена в точке х ₀ и ее окрестности, существует но этот предел не равен значению функции в точке х ₀: .

Задача 3. Задана функция у = f (x). Найти точки разрыва, если они существуют. .

Решение: Здесь х ₀=0 – точка разрыва: предел функции неравен значению функции в этой точке однако .

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение 6. Точка х ₀ называется точкой разрыва первого рода функции y = f (x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. . При этом:

а) если А ₁= А ₂, то точка х ₀ называется точкой устранимого разрыва;

б) если А ₁¹ А ₂, то точка х ₀ называется точкой конечного разрыва.

Величину ½ А ₁– А ₂½ называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Задача 4. Задана функция у = f (x) и два значения аргумента x ₁ и x ₂. Требуется:

1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;

2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа;

3) сделать схематический чертеж.

4.1. f (x)=5^2/(2– ^x ⁾ x ₁=0 x ₂=2 4.2. x ₁=0 x ₂=1