Методические указания к решению первой контрольной работы

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

(3)

где - заданные функции называются дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения уравнения такого вида необходимо сделать следующее:

1) Разделить переменные, т.е. преобразовать уравнение к виду

(4)

2) Проинтегрировать обе части уравнения (4)

(5)

где - первообразная функции , - первообразная функции , - произвольная постоянная.

3) Разрешить, если это возможно, уравнение (5) относительно (и найти область определения решения): .

4) Добавить к решению (5) все функции вида (горизонтальные прямые), где число - один из корней уравнения .

Описанный метод решения можно схематично представить в виде формулы:

 

ЗАДАЧА 1. Найти общее решение дифференциального уравнения . Построить графики двух частных решений этого уравнения.

Решение.

1) Преобразуем уравнение к виду .

2) .

Равенство показывает, что С > 0. Положим , где R > 0 – другая произвольная постоянная. Тогда .

3) Разрешим, предыдущее уравнение относительно и найдем область определения решения: или , , где R > 0. Графики решений – дуги концентрических окружностей произвольного радиуса с центром в начале координат (см. рис.).

 

							у
														х
	-3		-2		-1
						-2
						-4

Рис. к задаче 6.

4) В данном случае, уравнение ; не имеет решений. Поэтому решений вида нет.

Ответ: или , , где R > 0. ; .

 

ЗАДАЧА 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее (начальному) условию: , т.е. при .

Решение. Разделим обе части уравнения на : .

Подставляя вместо произведение двух функций , получаем уравнение: ;

(6)

2) Найдем теперь какую-нибудь функцию , для которой выполняется равенство .

Для этого найдем частное решение дифференциального уравнения .

Если функции равны, то и неопределенные интегралы от них равны:

.

Так как нам нужно найти частное решение, полагаем , т.е. приравниваем первообразные подынтегральных функций: .

3) Подставляя в уравнение (6), получим

Отсюда . Так как всякая функция с точностью до константы равна неопределенному интегралу от собственной производной, то .

Итак, общее решение дифференциального уравнения имеет вид .

4) Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значение неопределенности постоянной по начальному условию, данному в задаче. Используя то условие, что при , получаем равенство⁴: .

Отсюда . Подставляя найденное значение неопределенной постоянной, получаем частное решение , удовлетворяющее условие, данному в задаче.

Ответ: .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения вида:

(7) ,

где и - некоторые числа, называются линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта характеристического уравнения

(8)

имеют следующий вид:

А) если D > 0, где , - два различных действительных корня характеристического уравнения (8);

Б) , если D = 0, где - единственный корень характеристического уравнения;

В) если D < 0, где

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(9) является суммой некоторого его частного решения и общего решения однородного уравнения (7), т.е. .

 

⁴ Примечание

 

 

Многочлен называются характеристическим многочленом дифференциального уравнения (7).

В тех случаях, когда представляет собой многочлен, функцию , или , частное решение удается найти подбором с помощью следующей таблицы:
1.

 

Корни характеристического многочлена	Частное решение
или D < 0

 

2. если - многочлен и D < 0 или если ни один из корней характеристического многочлена не равен нулю :

 

Правая часть	Частное решение

 

3. где M и N – числа:

 

 

ЗАДАЧА 3. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение.

1) Характеристическое уравнение: . Так как , используем формулу В): ; . Общее решение однородного уравнения: .

2) Так как правая часть - многочлен второй степени, частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде многочлена 2-ой степени с неопределенными коэффициентами:

Подставляя в данное в задаче уравнение, получаем:

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим:

Отсюда , поэтому общее решение неоднородного уравнения имеет вид .

3) Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче:

Ответ:

Напомним, что число (читается «эн-факториал») – это произведение всех натуральных чисел от единицы по : .

При вычислениях с факториалами представляется важным следующее соображение:

и т.д.

Признак Даламбера. Если существует предел , то числовой ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1.

 

ЗАДАЧА 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Вычисляем предел

Ответ: так как q < 1, то ряд сходится.

 

Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Каждый степенной ряд сходится внутри интервала , где - радиус сходимости, определяемый по формуле .

 

ЗАДАЧА 5. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение. Определяем радиус сходимости

Так как , находим интеграл сходимости: .

Ответ:

 

Упражнения

 

1. Дифференциальные уравнения

 

110. Найти общее решение дифференциального уравнения

111. Найти какое-либо частное решение дифференциального уравнения .

112. Найти общее решение дифференциального уравнения .

113. Найти общее решение и частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , .

114. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , .

115. Найти общее решение дифференциального уравнения .

116. Найти общее решение дифференциального уравнения .

117. Найти общее решение дифференциального уравнения .

118. Найти общее решение дифференциального уравнения .

 

2. Ряды

 

119. Вычислить сумму ряда:

а) . Является ли этот ряд абсолютно сходящимся?

б) . Является ли этот ряд абсолютно сходящимся?

 

в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) .

120. Является ли ряд абсолютно сходящимся?

 

 

Контрольная работа №2 (2 семестр)

 

Формулировки условий задач контрольной работы:

6. Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух различных частных решений этого уравнения.

7. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному условию.

8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям.

9. Исследовать ряд на сходимость.

10. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда.

 

ВАРИАНТ 0

 

1. .

 

2.

3.

4.

5.

 

ВАРИАНТ 1

1.

2.

3.

4.

5.

 

ВАРИАНТ 2

1.

2.

3.

4.

5. .

 

ВАРИАНТ 3

1.

2.

3.

4.

5.

 

ВАРИАНТ 4

1.

2.

3.

4.

5.

 

ВАРИАНТ 5

1.

2.

3.

4.

5.

 

ВАРИАНТ 6

1.

2.

3.

4.

5.

ВАРИАНТ 7

1.

2.

3.

4.

5.

ВАРИАНТ 8

1.

2.

3.

4.

5.

ВАРИАНТ 9

1.

2.

3.

4.

5.

 

Таблицы и формулы

 

1. Производные основных элементарных функций

1) Производная константы равна нулю: .

2) , где - любое не равное нулю действительное. В частности, .

3) Показательная и логарифмическая функции.

 

 

4) Тригонометрические функции

 

 

5) Обратный тригонометрические функции

 

 

2. Производные некоторых сложных функций:

 

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12.

 

Правила дифференцирования

 

3.

4. Константы можно выносить за знак производной

5. Производная суммы равна сумме производной

6.

7.

8. Пусть - сложная функция, и Тогда:

9. Интегрирование, также как и операция дифференцирования, операция вычисления пределов, является линейной; то есть, константы можно выносить за знак интеграла, и интеграл суммы функций равен сумме интегралов. Линейность операции интегрирования можно выразить формулой:

10. Таблица основных неопределенных интегралов:

1) 2) 3) 4) 5) 6)	7) 8) 9) 10)
11)

11. Замена переменных (метод подстановки):

Если , то . Эта формула позволяет интегрировать произведения, одним из сомножителей которых служит сложная функция

12. Интегрирование по частям:

13. Интегрирование простейших дробей:

1)

2)

3)

14. Если

15. Формула Ньютона-Лейбница где - первообразная, вычисляемая как неопределенный интеграл с