В этом параграфе приведён разбор решений задач типового варианта контрольной работы по математическому анализу.
ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) - е):
А) 
Анализ задачи. Так как для данных дробей степень числителя больше степени знаменателя, то
и 
. Поэтому мы имеем дело с неопределённостью ∞ –∞. Следовательно, теоремой о пределе разности воспользоваться нельзя и необходимо провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела.
Решение. Приводим выражение к общему знаменателю:
= 
= 
=
= 
= 
= 
/ значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель разделить на одно и то ж е ненулевое число/ = 
Следовательно, 
=
= 
Ответ: 3
Б) 
Решение. Вычислим сначала предел логарифмируемого числа:
Из непрерывности функции у(х)=log3x следует, что 
если предел lim x-> f(x) существует. Поэтому 
Ответ: -1
Теорема (Первое правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в некоторой окрестности точки а. Если пределы функций равны нулю 
и 
и если существует предел отношения производных 
, то предел отношений функций равен пределу отношения производных 
= 
Теорема (Второе правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в некоторой окрестности точки а. Если пределы функций равны бесконечности 
и 
и если существует предел отношения производных 
, то предел отношения функций равен пределу отношения производных =
в) 
Анализ задачи. В данном случае, непосредственное применение теоремы о пределе частного невозможно, поскольку, как показывает подстановка числа -3 вместо х, и предел числителя и предел знаменателя равны нулю.
и 
Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида 
и для решения задачи требуется провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела.
Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если х1, х2 - корни квадратного трехчлена ах2 + bx + с, то ах2 + bх + с = а (х - хl) (х - х2). Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D.
3х2 + 8х -= 3 = о; D = b2 - 4ас = 82 + 4 *3 * 3 = 100;
х1,2 
; х2= -3.
Отсюда, 3х' + 8х - 3 = 3 (х - 
) (х - (-3)) = (3х -l)(x + 3).
Аналогично, х2 + 5х -+- 6 = 0 <=> xl = -2; х2 = -3;
Поэтому х2 + 5х + 6 = (х + 2)(х + 3).
Преобразуем выражение, находящееся под знаком предела:
/ так как функция у= 
непрерывна в точке х= -3, подставляем х= -3/= 
.
Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и знаменателя при х→ -3 равны нулю, применимо правило Лопиталя.
Ответ: 10
г) 
.
Анализ задачи. Подстановка числа 2 вместо х показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность . Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения 
, либо применить правило Лопиталя.
Решение. Выражение 
является сопряженным по отношению к выражению 
, а выражение 
- по отношению к 
. Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряжённых выражений 
, и используя формулу разности квадратов 
, получаем 
Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя 
/ так как функция непрерывна в точке х=2, подставляем х=2 / = 
Ответ: 
Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо х показывает, что предел числителя и предел знаменателя при х→0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость . Для того, чтобы раскрыть неопределенность можно либо провести тождественные преобразования выражения 
, либо применить правило Лопиталя.
Решение. Совершим замену неизвестной 
; при этом 
. Так как у=0 при х=0, то у→0.
.
Используем теперь тригонометрическую формулу 
= / применяем первый замечательный предел 
/ 
Другое решение задачи. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя
/ подставляем x = 0, cos0 = 1 / 
Ответ:
е) 
Решение: 
= / замена переменной 
так как 
/ =
/
= / предел произведения равен произведению пределов / 
/
= / используем второй замечательный предел 
/ 
Предел 
вычислен подстановкой 
Предел 
не может быть вычислен подстановкой 
, поскольку в результате подстановки получается неопределенность 
. Ответ: 
.
ЗАДАЧА 2. Вычислить производные функции а) – г):
а) Вычислить производную функции 
.
Решение. Найдем сначала производную функции 
:
. Теперь находим в таблице производных сложных функций формулу 
и, подставляя 
, получаем 
Ответ: 
.
б) Вычислить производную функции 
.
Решение. Найдем сначала производную функции 
.
Так как 
, где 
, то по таблице производных сложных функций (таблица 2 пункт 2.) находим:
.
Теперь вычисляем производную функцию у(х), пользуясь формулой производной отношения:
Ответ: 
в) Вычислить производную 
.
Анализ задачи. Функция 
представляет собой произведение трех функций 
. Используя правило Лейбница, можно вывести общую формулу:
Следовательно,
Решение.
.
Ответ: 
г) Вычислить производную функцию 
Решение. Пользуясь основным логарифмическим тождеством 
, представим у(х) в виде 
. Так как 
, то 
и поэтому 
. В последнем равенстве мы вновь воспользовались формулой 
, читая ее слева на право.
Ответ: 
.
ЗАДАЧА 3. Исследовать функции и построить их графики:
а) исследовать функцию 
Решение.
1) Так как 
- многочлен, то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, область определения данной функции вся – числовая прямая: 
2) Функция не является ни четной ни нечетной, поскольку 
; 
; 
; 
.
3) Заметим, что при 
и при 
поведение многочлена у(х) определяется поведением его старшего члена 
, который неограниченно возрастает при и неограниченно убывает при . Поэтому 
.
Так как функция у(х) определена на всей числовой оси и 
, график функции не имеет асимптот.
4) 
– точка пересечения графика с осью Оу.
Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение 
.
(в вариантах 5-7 контрольной работы корни уравнения у(х) =0 находятся подбором. Если Вам достался один из этих вариантов, попробуйте подставить числа 
.
5) Находим локальные экстремумы, а также промежутки возрастания и убывания функции. Для этого вычисляем производную функции 
, 
, и решаем уравнение 
, критические точки 
. Так как производная не имеет точек разрыва, других критических точек нет. Определяем знак производной справа и слева от каждой критической точки и составляем таблицу:
; 
; 
;
| 
| - 4 | 
| -1 | 
|
| + | - | + | ||
| k | максимум | m | минимум | k |
Итак, функция возрастает при 
и при 
и убывает при 
; локальный минимум – 
, локальный максимум – 
.
6) используя пункт 3) получаем, что множество значений функции 
– вся числовая прямая, 
.
7) Находим точки перегиба функции и устанавливаем промежутки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз. Для этого, прежде всего, вычисляем производную второго порядка и приравниваем ее к нулю:
Для определения знаков второй производной подставляем в нее числа из промежутков 
и 
; 
| 
|
Рис. 1. Графики функций 3.а) и 3.б)
|
| 
| 
| 
|
| - | + | |
| выпуклость вверх | перегиб | выпуклость вниз |
Теперь необходимо найти значение функции в точке перегиба и определить угол наклона касательной к графику функции в этой точке: 
, тангенс угла наклона 3 (угол наклона α равен 
) равен значению производной в данной точке 
. При построении касательной откладываем 2,0 см от точки А (-2,5; 0,25) по оси Ох вправо и 2,7 см вдоль оси Оу вниз и получаем точку В (-2,5+2; 0,25-2,7), В(-0,5;-2,45). Проводим через точки А и В прямую (АВ). График функции у(х) должен касаться прямой (АВ) в точке А.
8) На этом исследование функции закончено и остается лишь вычислить ее значения в некотором числе точек, достаточном для построения графика, и построить график.
б) Исследовать функцию 
.
Решение.
1). Так как 
и 
, то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой.
2) Функция не является ни четной ни нечетной, поскольку 
; 
3) 
/ замена у = -х /
.
4) Так как 
, то 
– точка пересечения графика с осью Оу.
Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение у (х) = 0, т.е. 
. Так как любая степень числа е положительная, мы можем разделить на 
обе части уравнения: 
; D=81-4*22=-7<0.
Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет корней. Иначе говоря, график функции не пересекает ось Ох и поэтому, в силу своей непрерывности, функция у(х) не меняет своего знака на протяжении всей числовой оси. Отсюда вытекает, что у(х)>0 для всех действительных
чисел х, поскольку у(0)>0.
5) Экстремумы. Промежутки возрастания и убывания.
Для определения критических точек функции решим уравнение
критические точки – 
|
| - 4 | 
| -1 | 
|
|
| + | - | + | ||
|
| m | минимум | k | максимум | m |
Локальный минимум – 
локальный максимум – 
6) Используя пункты 3) -5), получаем, что 
7) Находим точки перегиба и промежутки выпуклости.
|
| 
| -3 | 
| 
| |
|
| + | - | + | ||
|
| вып. вниз | перегиб | вып. вверх | перегиб | вып. вниз |
Теперь необходимо найти значение функции и значение производной (тангенс угла наклона касательной к графику функции) в точках перегиба: 
, и построить касательные графику функции в этих точках.
8) Так как функция определена на всей числовой оси и 
функция имеет правую горизонтальную асимптоту 
9) Строим график функции.
ЗАДАЧА 4. Вычислить неопределенные интегралы а) –г):
а) 
.
Решение. Решение данной задачи требует знания формулы дифференциала функции 
. Используя тригонометрическую формулу 
, получаем: 
Пусть 
. Тогда 
, и следовательно, 
по формуле дифференциала. Отсюда 
.
Последнее равенство получено формулам таблицы интегралов:
(1) 
Ответ: 
б) 
Решение. Решение данной задачи основано на формуле интегрирования по частям:
В этой формуле принимаем за 
функцию 
Тогда 
(так как мы находим первообразную, то «+ С» не пишем).
По формуле 
находим производную второго сомножителя 
Подставляя найденные 
в формулу интегрирования по частям, получаем:
Ответ: 
в) 
Решение. Так как корнями знаменателя является 
и 
, то по формуле 
, знаменатели раскладываются на множители. 
Представим дробь в виде следующей суммы:
и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю:
Приравняв числители, получим
(2) 
.
Подставляя в последнее равенство 
находим, что 
.
Поставляя 
в равенство (2), находим, что 
.
Таким образом, 
.
Итак, 
.
Здесь мы воспользовались формулой (1).
Ответ: 
.
г) 
.
Анализ задачи. Напомним, что в том случае, когда дискриминант квадратного двучлена 
отрицателен, 
, справедливо равенство:
.
Решение. Для вычисления интеграла 
найдем дискриминант знаменателя 
и рассмотрим функцию 
. Для последующей замены переменной вычислим производную знаменателя 
и заметим, что 
; 
. Отсюда, 
Вычислим получившиеся интегралы по–отдельности.
1) 
.
2) 
.
Подставляя полученные выражения, окончательно получаем следующий ответ:
.
ЗАДАЧА 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций 
и 
. Изобразите эту фигуру на координатной оси.
Решение. Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции 
и находим координаты вершины параболы С.
; 
; 
.
у = х2 + 3х + 1 | у | 
| у = х + 4 | ||||||||||
| В | |||||||||||||
| А | |||||||||||||
| |||||||||||||
| -3 | С | х |
Рис. к задаче 5
Найдем точки пересечения графиков функций: 
.
,
Заметим, что 
графиком функции 
является прямая, которую можно построить по двум точкам А (-3;1) и В (1;5).
Пусть S – площадь фигуры АВС, ограниченной графиками функций. Так как 
при 
, то 
Ответ: 
.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Предел последовательности
1. Дана постоянная последовательность 
для всех натуральных чисел 
. Докажите, используя определение предела последовательности, что 
2. Докажите, что 
3. Докажите, используя определение предела последовательности, что 
4. Докажите, используя определение предела последовательности, что 
при 0 < q < 1.
5. Докажите, что всякая числовая последовательность может иметь не более одного предела.
6. Докажите, что 
.
7. Докажите, что 
8. Докажите, что 
9. Является ли последовательность 
бесконечно малой?
10. Является ли последовательность 
бесконечно малой?
11. Является ли последовательность 
бесконечно малой?
12. Найти предел 
.
13. Найти предел последовательности 
.
14. Найти предел последовательности 
.
15. Найти предел последовательности 
.
16. Найти предел последовательности 
.
Объясните, какие свойства пределов и теоремы Вы использовали для вычисления этого предела.
17. Найти предел последовательности 
.
18. Найти предел последовательности 
.
19. Вычислить предел 
.
20. Найти предел последовательности 
.
2. Предел функции. Непрерывность
21. Докажите, что 
.
22. Найдите, используя определение предела функции, предел функции 
при 
. Используя графические соображения, найдите односторонние пределы 
и 
.
23. Докажите, что 
.
24. Докажите, что 
.
25. Докажите, что 
.
26. Докажите, что 
.
27. Найти предел функции. Докажите, что 
.
28. Вычислить предел функции 
, где 
- постоянная величина.
29. Вычислить предел 
.
30. Вычислить предел 
.
31. Вычислить предел 
.
32. Найти предел функции 
.
33. Найти предел функции 
.
34. Построить график функции 
. Является ли функция непрерывной в точке 
?
35. Построить график функции 
. Является ли эта функция непрерывной?
3. Производная
36. Найти производную функции 
.
37. Найти производную функции 
.
38. Найти производную функции 
.
39. Найти производную функции 
.
40. Найти производную функции 
.
41. Найти производную функции 
.
42. Найти производную функции 
.
43. Найти производную функции 
.
44. Найти производную функции 
.
45. Вычислить производную функции 
.
46. Вычислить производную функции 
.
47. Вычислить производную функции 
.
48. Вычислить производную функции 
.
49. Вычислить производную функции 
.
50. Вычислить производную данной функции 
.
51. Вычислить производную функции: 
.
52. Пользуясь определением производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, найдите производную функции 
.
53. При каком значении параметра p касательная к графику функции 
, проведенная в точке с абсциссой 
, параллельна прямой 
?
54. Выяснить геометрический смысл теоремы Лагранжа.
55. Выяснить геометрический смысл теоремы Ферма.
56. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя, 
.
57. Используя правило Лопиталя, вычислить предел 
.
58. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя 
.
59. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя 
.
60. Найти предел функции (можно воспользоваться правилом Лопиталя) 
.
61. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя 
.
62. Найти дифференциал функции 
. Найти дифференциал функции 
в точке 
.
63. Вычислить 
.
64. Вычислить 
.
65. Вычислить частные производные функции двух переменных 
.
66. Вычислить частные производные функции двух переменных 
.
67. Вычислить частные производные функции двух переменных 
.
68. Вычислить частные производные функции двух переменных 
.
69. Вычислить частные производные функции двух переменных 
.
70. Вычислить частные производные функции двух переменных 
.
4. Исследование функций
71. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции 
.
72. Построить график функции 
. Найти точки локального экстремума функции и наибольшее значение этой функции на отрезке 
.
73. Построить график функции и найти точку минимума этой функции.
74. Исследовать функцию 
и построить ее график.
75. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: 
.
76. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: 
.
77. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: 
.
78. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: 
.
79. Приведите пример функции, не обладающей на некотором числовом промежутке наибольшим значением.
80. Найти асимптоты функции 
.
5. Интеграл
81. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной 
.
82. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной 
.
83. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной 
.
84. Используя формулу замены переменной, вычислить неопределенный интеграл 
.
85. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям 
.
86. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям 
.
87. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям 
.
88. Вычислить неопределенный интеграл, используя метод замены переменной .
89. Вычислить неопределенный интеграл 
.
90. Вычислить неопределенный интеграл 
.
91. Вычислить определенный интеграл 
.
92. Вычислить определенный интеграл 
.
93. Найти 
.
94. Вычислить определенный интеграл 
.
95. Вычислить 
.
96. Вычислить 
.
97. Вычислить 
.
98. Вычислить 
.
99. Найти 
.
100. Найти 
.
101. Найти 
.
102. Вычислить 
.
103. Вычислить неопределенный интеграл 
.
104. Приведете пример функции, которую нельзя проинтегрировать в элементарных функциях.
105. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: 
.
106. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: 
.
107. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: 
.
108. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: 
.
109. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: 
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Формулировки условий задач контрольной работы:
1. Вычислить предел функции.
2. Вычислить производную функции.
3. Исследовать функции 
и 
построить их графики.
4. Вычислить неопределенные интегралы.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .
ВАРИАНТ 0
1.
а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
|
д) 
| е) 
|
2.
а) 
| б) 
|
в) 
| г)  .
|
3.
а) 
| б)
Дата добавления: 2015-11-05; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 550 | Нарушение авторских прав Поиск на сайте: Лучшие изречения:  | 2066 -  |
Ген: 0.012 с.