Числовые характеристики дискретных случайных величин

 

Математическое значение дискретной случайной величины Х, имеющее конечное число возможных значений, равно

 

 

Дисперсия дискретной случайной величины Х, имеющее конечное число возможных значений, равно

или

Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

Xi	1	2	4
Pi	0.1	0.3	0.6

M(X)=1*0.1+2*0.3+4*0.6=3.1

D(X)=(1-3.1)²*0.1+(2-3.1)²*0.3+(4-3.1)²*0.6=1.29

Или по второй формуле

D(X)=1²*0.1+2²*0.3+4²*0.6-3.1²=1.29

 

Нормальное распределение

 

В теории вероятностей и математической статистике важнейшую роль играет так называемое нормальное или гауссовское распределение. Значимость нормального распределения определяется тем, что оно служит хорошим приближением для большого числа наборов случайных величин, получаемых при наблюдениях и экспериментах. Нормальное распределение почти всегда имеет место, когда наблюдаемые случайные величины формируются под влиянием большого числа случайных факторов, ни один из которых существенно не превосходит остальные.

С другой стороны, нормальное распределение появляется как точное решение некоторых математических задач в рамках принятых моделей исследуемых явлений. Одно из первых таких решений, приводящие к нормальному закону распределения, были получены К. Гауссом при решении задач теории ошибок наблюдений и Дж. Максвеллом при учении распределения скоростей молекул в газе.

Функция носит название плотности нормального распределения, а ее интеграл называется нормальной функцией распределения.

Постоянная определена таким образом, чтобы вероятность попадания в случайный интервал от -∞<x<∞ была равна 1.

Постоянные μ (математическое ожидание) и σ² (дисперсия) называются параметрами распределения.

Общим для всех кривых нормального распределения является то, что примерно 68, 95 и 99,7 % площади под ними лежат соответственно в пределах ±σ, ±2σ, ±3σ.

 

 

Вопросы для самопроверки:

1. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

2. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный вы­стрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку «хорошо» рав­на 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

3. Вероятность того, что лицо умрет на 71-м году жизни, рав­на 0,04. Какова вероятность того, что человек не умрет на 71-м году?

4. В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

5. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды выни­мают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

6. В колоде 36 карт. Наудачу вынимаются из колоды 2 кар­ты. Определить вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.

7. Пусть существует две лотереи: 5 из 36 и 31 из 36. Где вероятность выиграть больше?

8. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым стрел­ком — 0,7. Найти вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.

9. Студент М может заболеть гриппом (событие А) только в результате либо переохлаждения (событие В), либо контакта с другим больным (событие С). Требуется найти Р (А), если Р (В) = 0,5, Р (С) = 0,5, Рв (А) = 0,3, Рс (А) = 0,1 при условии не­совместимости В и С.

10. Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются, и из них извлекаются по очереди четыре карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово «река»?

11. Вероятность получения желаемого результата в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до получения желаемого результата. Определить вероятность того, что придется проводить пятый опыт.

12. В ящике лежат 10 черных носков и 6 зеленых, все одного размера. Вы, не глядя, вытащили 3 носка, какова вероятность того, что образовалась хотя бы одна пара?

13. Найти дисперсию и математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

а)

X	4,3	5,1	10,6
p	0,2	0,3	0,5

б)

X	131	140	160	180
p	0,05	0,1	0,25	0,6

13. В супе объемом 10л плавает 50 перчинок. С какой вероятностью в ложку объемом 0.01л попадет 1 перчинка.

14. К случайной величине прибавили постоянную а. Как при этом изменятся ее а) математическое ожидание; б) дисперсия?

15. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами: μ = 375 г, σ²= 25 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.

16. Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание — 2,5 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр науда­чу взятой детали.

17. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одина­ковыми, найти вероятность того, что среди 4 новорожденных 2 мальчика.

18. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из ко­торых вероятность появления события А равна 0,6. Найти диспер­сию случайной величины X — числа появлений события А в этих испытаниях.