Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.
Стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.
Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А, и событие В.
Аналогично произведением конечного числа событий A1 А2, …, Ak называется событие А = А1 * A2 *... * Ak, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.
В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.
Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.
Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и А~ равна единице:
Р(А) + Р(А~)=1.
В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность вынуть красный шар Р(А) = 0,3, синий Р (В) =0,5.
Так как события А и В несовместимы, то по теореме имеем P(A+B)=0,8.
На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если рвется одна астра? Искомая вероятность равна сумме вероятностей сорвать красную или синюю астру, т. е. 20/90+30/90=50/90=5/9.
Умножение вероятностей
Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми.
Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Очевидно, Р (А) =0,5. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар — также имеет вероятность р (В) =0,5, т. е. события А и В — независимые.
Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается (P(В) = 1/3); если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается (Р(В) = 2/3) Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А; в таких случаях события А и В — зависимые.
Пусть А и В — зависимые события. Условной вероятностью РA(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.
Если события А и В независимы, то РА(В) =Р(В).
Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р (АВ) = Р (А)РА(В).
Р (ВА) = Р (В)РВ(А).
Р (А)РА(В) = Р (В)РB(А).
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
Р (АВ) = Р (А) Р (В).
Найти вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.
События А и В независимы, поэтому искомая вероятность Р(АВ) = 0,7 • 0,8 = 0,56.
Сложение вероятностей совместимых событий
Вероятность суммы двух совместимых событий A и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:
Р(А + В) = Р(А) + Р (В) — Р(АВ).
Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Р(А)=0,7 и Р(В)=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Очевидно, события А к В совместимы и независимы. Поэтому
Р (А + В) =Р (А) +Р (В) - Р (АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7* 0,8 = 1,5 — 0,56 = 0,94.
Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р (АВ) = 0.
