Сложение вероятностей несовместимых событий

 

Суммой событий А и В называется собы­тие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.

Стрельба двух стрелков (каждый де­лает по одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень пер­вым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.

Произведением событий А и В назы­вается событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испыта­ния произошло и событие А, и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий A₁ А₂, …, A_k называется событие А = А₁ * A₂ *... * A_k, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.

Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.

Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Следствие. Сумма вероятностей противоположных собы­тий А и А~ равна единице:

Р(А) + Р(А~)=1.

В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность вынуть красный шар Р(А) = 0,3, синий Р (В) =0,5.

Так как события А и В несовместимы, то по теореме имеем P(A+B)=0,8.

 

На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 бе­лых астр. Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если рвется одна астра? Искомая вероятность равна сумме вероятно­стей сорвать красную или синюю астру, т. е. 20/90+30/90=50/90=5/9.

Умножение вероятностей

 

Два события А и В называются незави­симыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Очевидно, Р (А) =0,5. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар — также имеет вероятность р (В) =0,5, т. е. события А и В — независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается (P(В) = 1/3); если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается (Р(В) = 2/3) Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А; в таких случаях события А и В — зависимые.

Пусть А и В — зависимые события. Условной вероятностью Р_A(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже на­ступило.

Если события А и В независимы, то Р_А(В) =Р(В).

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположе­нии, что первое событие уже наступило:

Р (АВ) = Р (А)Р_А(В).

Р (ВА) = Р (В)Р_В(А).

Р (А)Р_А(В) = Р (В)Р_B(А).

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р (А) Р (В).

Найти вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

События А и В независимы, поэтому искомая веро­ятность Р(АВ) = 0,7 • 0,8 = 0,56.

 

Сложение вероятностей совместимых событий

Вероятность суммы двух совместимых событий A и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Р(А + В) = Р(А) + Р (В) — Р(АВ).

Вероятности попадания в цель при стрельбе пер­вого и второго орудий соответственно равны: Р(А)=0,7 и Р(В)=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Очевидно, события А к В совместимы и независимы. Поэтому

Р (А + В) =Р (А) +Р (В) - Р (АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7* 0,8 = 1,5 — 0,56 = 0,94.

Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р (АВ) = 0.