Нули функции: нет 6) Промежутки знакопостоянства: y>0 если ( ) y<0, нет таких Х

=( )
3) Промежуток возрастания: нет
4) Промежуток убывания:( )
5) Нули функции: x=1
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если ( )
y<0 если ( )

6) Тригонометрическая функция
Свойства:
1) Область определения:

3) Промежутки возрастания: [ ], где
4) Промежутки убывания: [ ], где
5) Нули функции: , где
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если [ ], где
y<0 если [ ], где

7) Тригонометрическая функция
Свойства:
1) Область определения:

3) Промежутки возрастания: [ ], где
4) Промежутки убывания: [ ], где
5) Нули функции: , где
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если [ ], где
y<0 если [ ], где

2. Предел функции

Предел функции. ЧислоL называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к a:

если для любого > 0 найдётся такое положительное число = (), зависящее от , что из условия | x  a | < следует | f (x) – L | < 

Это определение означает, что L есть предел функции y = f (x), если значение функции неограниченно приближается к L, когда значение аргумента x приближается к a. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число , что если x находится в интервале (a   a  ), то значение функции лежит в интервале (L  , L + ). Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается к a, не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.

3. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Þ .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x), то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

Þ .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с, докажем, что .

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число. Тогда при

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при ,

f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B - A = - .

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B - A =0, т.е. B = A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть , , .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

где - б.м. при .

Сложим алгебраически эти равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С) = ,

где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С = .

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

4. Непрерывность функции в точке и на интервале.

Непрерывность функции в точке.

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство .

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х₀.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

5. Производная и дифференциал.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где обозначает производную в точке .

Таким образом есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от и для которой верно следующее соотношение

6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

1. Теорема. Ролля. Если функция g (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g (a)= g (b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная g ў обращается в нуль g ў(c)=0.

2 Теорема. Лагранжа. Если функция g (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство g (b)- g (a)= g ў(c)(b - a)

3. Теорема. Коши. Если функции g (x) и h (x) непрерывны на отрезке [ a, b ], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем h ў(x) № 0 внутри отрезка [ a, b ], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство

4. Теорема. Лопиталя. Пусть функции g (x) и h (x) на некотором отрезке [ a, b ] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке x = a, т.е. g (a)= h (a)=0, тогда если существует предел отношения g ў(x)/ h ў(x) при x ® a, то существует и

причем

7. Функции нескольких переменных и их непрерывность.

Определение 1. Функцией n переменных u (x1, x2, …, xn) называется отображение u: Rn → R, т.е. любое правило, которое каждой точке x = (x1, x2, …, xn) О D М Rn ставит в соответствие действительное число u О R.

D М Rn называется областью определения функции u и записывается D(u).

Функцию n переменных записывают так: u = f(x1, x2, …, xn).

Пространство Rn считаем евклидовым с ортонормированным базисом.

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x1, x2, …, xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2, …, an) О Rn (включая саму точку a).

Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если

Обозначим приращения аргументов символами Δx1 = x1 − a1, Δx2 = x2 − a2, …, Δxn = xn − an. Соответствующее приращение функции u=f(x)

называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению
Δx = {Δx1, Δx2, …, Δxn}.

Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию

Приращение

называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δxk аргумента xk.

Определение 2. Функция u = f(x) = f(x1, x2, …, xn) называется непрерывной в точке a = (a1, a2, …, an) по переменной xk, если

8. Производные функции нескольких переменных.

Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

– это частная производная функции z по аргументу x;

– это частная производная функции z по аргументу у.

Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

9. Дифференциалы функций нескольких переменных.

Дифференциал функции нескольких переменныхопределяется как линейная (относительно приращений аргументов) часть приращения дифференцируемой функции

,

где dx_i x_i (i=1,..., m), если x₁,..., x_m - независимые переменные.

Как и в случае одной переменной первый дифференциал обладает свойством инвариантности его формы, т.е. выражение для первого дифференциала имеет тот же вид и в случае, когда х₁,..., х_m являются функциями некоторых переменных t₁,..., t_k. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие формулы

10. Поиск экстремума функции нескольких переменных.

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке некоторой окрестности точки , то есть (соответственно ) для всех точек , принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: , .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие существования экстремума:

Пусть стационарная точка функции . Обозначим , , и составим дискриминант . Тогда:

если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум, при (или ) и минимум, при (или );

если , то в точке экстремума нет;

если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

11. Поиск экстремума функции двух переменных.

Пусть функция определена в некоторой области G и точка .

Функция имеет в точке максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство .

Аналогично определяется минимум функции.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если – точка экстремума функции , то частные производные и в этой точке равны нулю или не существуют.

Точки, в которых частные производные и обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Сформулированный признак не является достаточным: не обязательно критическая точка является точкой экстремума.

Чтобы проверить, есть ли экстремум в критической точке, используют следующую теорему (достаточное условие экстремума).

Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция имеет непрерывные частные производные до 3–го порядка включительно и . Обозначим: . Тогда

1) если , то функция имеет экстремум в точке , причем это максимум, если и минимум, если ;

2) если , то экстремума в точке нет;

3)если , требуется дополнительное исследование (экстремум в точке может быть или не быть).

12. Неопределенный интеграл. Основные теоремы (не могу найти).

Неопределённый интегра́л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то

,

где С — произвольная постоянная.

Если , то и , где — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

13. Интегрирование подстановкой.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

14. Интегрирование по частям.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

15. Интегрирование рациональной функции.

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

16. Определенный интеграл, основные теоремы.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.

Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произв. точку , , Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , т.е. (1) Если существует (1), то функция называется интегрируемой на – определение интеграла по Риману.

• 
• – нижний предел.
• – верхний предел.
• – подынтегральная функция.
• - длина частичного отрезка.
• – интегральная сумма от функции на соответствующей разбиению .
• - максимальная длина част. отрезка.

Определение интеграла на языке , :(по "Коши") Число I – называется определённым интегралом от f(x) на [ a; b ], если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0: для любого разбиения R отрезка [ a; b ]: λ_R < δ, выполняется неравенство: |I- σ_R | = |∑^n-1_i=0f(ξi) Δxi - I| < ε при любом ξi є [ xi; xi+1] Тогда I = ∫_a^bf(x)dx

свойства Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке

• Для любых a, b и c

• Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A

• Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.
• Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

17. Понятие о дифференциальном уравнении: его порядке, общем и частном решении.

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

18. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными.

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n =1) имеет вид: или, если его удается разрешить относительно производной: . Общее решение y=y(x,С) или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

или уравнение вида

19. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения линейного уравнения.

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

где дифференциальный оператор L линеен, y — неизвестная функция , а правая часть — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение — однородно, если .

В случае, если , говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.

Неоднородное дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных), которое содержит не равный тождественно нулю свободный член — слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:

где C − произвольная постоянная.

20. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k ₁ и k ₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C ₁ и C ₂ − произвольные действительные числа.

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k ₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k ₁ = α + βi, k ₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

21. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.