Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


 лассы интегрируемых функций




1.Ќепрерывные функции.

“еорема 1. ¬с€ка€ непрерывна€ на отрезке [a,b] функци€ интегрируема на этом отрезке.

2.ћонотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций.

“еорема 2. Ћюба€ монотонна€ ограниченна€ функци€ €вл€етс€ интегрируемой функцией.

“еорема 3. Ћюба€ ограниченна€ функци€, имеюща€ конечное число разрывов интегрируема.

 

Ѕилет 37. «амена переменной и интегрирование по част€м в определенном интеграле.

 

‘ормула замены переменной. ѕусть х = φ(t) непрерывна и диф. на T = {α; β}. ‘ункци€ f(x) непрерывна на отрезке [a; b] = [x(α); x(β)]. “огда ∫f(x)dx (a; b) = ∫f(φ(t))*φТ(t)dt (α; β)

»нтегрирование по част€м. ѕусть U(x) и V(x) непрерывны и диф. на отрезке [a; b]. “огда имеет место формула: ∫UdV = UV|ab - ∫VdU

ƒоказательство: такое же как в неопр. интеграле

 

Ѕилет 38. »нтеграл с переменным верхним пределом. ‘ормула Ќьютона-Ћейбница.

 

»нтеграл с переменным верхним пределом. ≈сли функци€ f(x) непрерывна на [a; b], то дл€ всех х (- [a; b] определена функци€ ‘(х) = ∫f(t)dt (a; x), котора€ называетс€ интегралом с переменным верхним пределом. Ќа интеграл с переменным верхним пределом распростран€ютс€ все правила и свойства определЄнного интеграла.

“еорема. ≈сли f(x) непрерывна на [a; b], то ‘Т(x) = (∫f(t)dt)Т (a; x) = f(x), дл€ всех х (- [a; b]

‘ормула Ќьютона-Ћейбница. ѕусть f(x) непрерывна на [a; b], F(x) Ц кака€ либо первообразна€ дл€ неЄ, тогда:

∫f(x)dx = F(x)|ab = F(b) Ц F(a)

 

Ѕилет 39. Ќесобственные интегралы 1-го и 2-го рода. —ход€щиес€ и расход€щиес€ интегралы. √еометрический смысл.

 

ќпределение. ѕри введении пон€ти€ определЄнного интеграла предполагали следующие услови€: а) отрезок интегрировани€ [a; b] €вл€етс€ конечным; б) подынтегральна€ функци€ f(x) Ц ограничена на отрезке интегрировани€. ¬ этом случае интеграл называетс€ собственным. ≈сли хот€ бы одно из указанных условий нарушаетс€, то интеграл называетс€ несобственным, т.е. ∫f(x)dx называетс€ несобственным, если а=-∞ или b=+∞ (или невзаимоискл.)

—ходимость / расходимость. ѕусть f(x) определена и непрерывна на [a; b] (b>a). ќбозначим I(b) = ∫f(x)dx, фиксиру€ нижний предел а. ‘ункцию I(b) рассмотрим как интеграл с переменным верхним пределом.

1) ∫f(x)dx (a; +∞) = lim ∫f(x)dx (a;b) (bà+∞) Ц несобственный интеграл 1 рода на [a; +∞). ≈сли предел в правой части существует и конечен, тогда несобственный интеграл сходитс€. ¬ противном случае расходитс€.

2) ∫f(x)dx (-∞; b) = lim ∫f(x)dx (a;b) (aà-∞)

3) ∫f(x)dx (-∞; ∞) = ∫f(x)dx (-∞; c) + ∫f(x)dx (c; +∞) = пределы

√еометрический смысл. ѕусть f(x)>0. Ќесобственный интеграл определ€ет площадь под кривой в соотв. пред., в данном случае [a; + ∞)

Ќесобственный интеграл 2го рода. ѕусть функци€ f(x) задана на [a; b), не ограничена при

xàb и дл€ любого ε>0 найдЄтс€ ∫f(x)dx (a; b-ε). Ќесобственным интегралом 2го рода от функции

f(x) называетс€ lim ∫f(x)dx (a; b-ε) (εà0+) = ∫f(x)dx (a; b)

√еометрический смысл: также только площадь под графиком.

 

Ѕилет 40. —войства несобственных интегралов. ѕризнаки сходимости. Ёталонные р€ды.

 

—войства. 1) ≈сли сходитс€ несобственный интеграл ∫f(x)dx (a; ∞), то найдЄтс€ така€ b>a, что несобственный интеграл будет сходитс€ и ∫f(x)dx (a; ∞) = ∫f(x)dx (b; a) + ∫f(x)dx (b; ∞)

2)≈сли сход€тс€ интегралы ∫f(x)dx (a; ∞) и ∫g(x)dx (a; ∞), то сход€тс€ и интегралы ∫(αf(x)+-βg(x))dx (a; ∞), где α и β=const и <M.

ѕризнаки сходимости.

1) ѕризнак сравнени€. ѕусть даны два несобственных интеграла ∫f(x)dx (a; ∞) и ∫g(x)dx (a; ∞), подынтегральные функции которых удовлетвор€ют неравенству: 0 <= f(x) <=g(x), дл€ всех a <= x <∞. “огда из сходимости второго интеграла следует сходимость первого, а из расходимости первого Ц расходимость второго.

ƒоказательство:

ƒл€ всех b (- (a; +∞) интеграл ∫f(x)dx (a; b) <= ∫g(x)dx (a; b). а) ѕерейдЄм к пределу при bà∞. ѕо теореме о предельных переходах в неравенстве существует предел: lim ∫f(x)dx (a; b) (bà∞). —уществование этого предела эквивалентно существованию интеграла. б) јналогично из расходимости 1го интеграла вытекает несуществование пределов ∫f(x)dx (a; b) (bà∞) и ∫g(x)dx (a; b) (bà∞)

2) ѕредельный признак сравнени€ (эквивалентности?). ѕусть существует lim f(x)/g(x) (xà+∞) = A < +∞. “огда интегралы f(x) и g(x) сход€тс€ или расход€тс€ одновременно.

3) ѕризнак ƒирихле (условной сходимости). ≈сли 1) ‘ункции f(x) и g(x) определены в a <= x <= ∞; 2) f(x) Ц интегрируема в [a; A] и F(A) Ц ограниченна€ функци€; 3) g(x) не возрастает и еЄ предел при хà∞ равен нулю, то ∫f(x)g(x)dx (a; ∞) сходитс€

Ёталонным называетс€ интеграл, который сходитс€ на одном промежутке, а расходитс€ на другом.

 

 

Ѕилет 41. Ќахождение площади плоской фигуры.

 

1) ¬ пр€моугольных координатах.

≈сли непрерывна€ крива€ задана в пр€моугольных координатах уравнением y = f(x) (f(x) >= 0), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой двум€ вертикальными пр€мым x=a, x=b, осью абцисс, определ€етс€ формулой S = ∫f(x)dx

2) ¬ пол€рных координатах

≈сли непрерывна€ крива€ задана в пол€рных координатах уравнением ρ=ρ(φ), то площадь сектора AOB, ограниченна€ дугой кривой и двум€ пол€рными радиусами OA и OB, выразитс€ интегралом S = ½ ∫(ρ(φ))2

3) ¬ параметрической форме.

S = ∫ψ(t)*φТ(t)dt, где x = φ(t), y = ψ(t)

 

 

Ѕилет 42. Ќахождение объема тела вращени€.

 

a) ќбъЄм тела, образованного вращением вокруг оси ќх криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной уравнением y = y(x), где y(x) - непрерывна€ однозначна€ функци€ на [a; b], осью ќх и пр€мыми x=a и x=b вычисл€етс€ по одной из формул: Vx = ѕ∫f 2(x)dx (a; b) или

Vx = ѕ ∫f 2(x)*xТ(y)dy (c; d)

 

б) ќбъЄм тела, образованного вращением вокруг оси ќy криволинейной трапеции,

ограниченной кривой, заданной уравнением x = x(y), где x(y) - непрерывна€

однозначна€ функци€ на [с; d], осью ќy и пр€мыми y=c и y=d вычисл€етс€ по

одной из формул: Vy = ѕ∫f 2(y)dy (c; d) или Vy = ѕ ∫x2*yТ(x)dx

 

Ѕилет 43. ƒлина дуги кривой.

a)¬ пр€моугольных координатах.

ѕусть на [a; b] y=f(x) диффер. è непрерывна. “огда существует предел: l = ∫корень из 1+(yТ)2dx

б) ¬ параметрической форме.

ѕусть дуга задана параметрическими уравнени€ми x=x(t), y=y(t), x <= t <= β, то длина дуги кривой равна:

l = ∫кор. xТ2(t)+yТ2(t)dt, (t1; t2) Ц значени€ параметра, соответствующие концам дуги

в) ¬ пол€рной системе

≈сли крива€ задана в пол€рных координатах уравнением ρ=ρ(φ), φ (- [α; β], то длина дуги кривой

l = ∫корень из ρ2(φ)+ ρТ2(φ)dφ (α; β) Ц значени€ пол€рного угла в крайних точках дуги.

 

Ѕилет 44. ќпределенный интеграл

 

ќпределЄнным интегралом от непрерывной функции f (x) на конечном отрезке [ a, b ] (где ) называетс€ приращение какой-нибудь еЄ первообразной на этом отрезке. ѕри этом употребл€етс€ запись

„исла a и b называютс€ соответственно нижним и верхним пределами интегрировани€, а отрезок [ a, b ] Ц отрезком интегрировани€.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-11-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1729 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент всегда отча€нный романтик! ’оть может сдать на двойку романтизм. © Ёдуард ј. јсадов
==> читать все изречени€...

1360 - | 1173 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.015 с.