Схема исследования функции на выпуклость и перегиб

1) Находим все точки, подозримые на перегиб, т.е. в которых f ‘’(x) = 0 или не существует

2) Находим знаки второй производной f ‘’(x) на всех интервалах, на которые область определения разбивается точками, подозримыми на перегиб

3) Находим направление выпуклости на этих интерваоах и значения функции в этих точках

 

Билет 27. Асимптота. Вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптоты.

 

Асимптота. Пусть существует такая прямая, что расстояние до неё от точки М (x; f(x)) графика функции y=f(x) стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность. Тогда прямая называется асимптотой графика функции

Вертикальная. Прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов lim f(x) (xàx0-) или lim f(x) (xà0+) равен бесконечности.

Горизонтальная. Пусть существует lim f(x) = b (xà+∞) < ∞ (lim f(x) = b (xà-∞) < ∞). Тогда прямая y=b называется право (лево) сторонней горизонтальной асимптотой.

Наклонная. Если f(x) à ∞ при хà +∞ (-∞), то может существовать наклонная асимптота.

Теорема. Если lim f(x)/x (xà+∞, xà-∞) = k – const<∞ и lim f(x)-kx (xà+∞, xà-∞) = b –const, то y=kx+b является правосторонней асимптотой (лево-)

 

Билет 28. Схема исследования функции и построения ее графика.

 

1) Область определения

2) Чётность, периодичность. Точки пересечения с осями

3) Нахождение точек из области определения, в которых f ‘(x)=0 или не существует

4) Нахождение точек из области определения, в которых f ‘’(x)=0 или не существует

5) Нахождение экстремумов, перегибов, интервалов возрастания и убывания, выпуклости, вогнутости. Таблица!

6) Асимптоты

7) Построение графика

 

 

Билет 29. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Достаточное условие интегрируемости. Свойства неопределенного интеграла.

 

Первообразная. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), заданной на некотором множестве X, если F’(x)=f(x) для всех х (- X.

Неопределённый интеграл. Если Ф(x) и F(x) – две первообразные для одной и той же функции f(x), то Ф(х)=F(x)+C, где С-произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных функции f(x), выражаемая формулой F(x)+C, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+c

Геометрический смысл.

Теорема 1. Пусть F(x) – первообразная ф. f(x). Тогда любая другая первообразная имеет вид Ф(х)=F(x)+C

Доказательство:

1) Функция Ф(х)=F(x)+C также является первообразной для f(x), т.к. Ф’(x) = (F(x)+C)’=F’(x)=f(x)

2) Пусть F1(x) и F2(x) – первообразные функции f(x). Тогда (F1(x)-F2(x))’=F1’(x)-F2’(x)=0. F1(x)-F2(x)=C

Свойства неопределённого интеграла:

1) (∫f(x)dx)’ = f(x)

Доказательство:

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=f(x)

2) d(∫f(x)dx) = f(x)dx

Доказательство:

d(∫f(x)dx) = (∫f(x)dx)’*dx = f(x)dx

3) ∫C + f(x)dx = C*∫f(x)dx

Доказательство:

Продифференцируем обе части:

(∫C*f(x)dx)’ = C*f(x)

(C*∫f(x)dx)’ = C*f(x)dx

4) ∫(f(x)+-g(x))dx = ∫f(x)dx +- ∫g(x)dx

5) ∫df(x) = f(x) +C

 

 

Билет 30. Таблица неопределенных интегралов.

 

 

Билет 31. Непосредственное интегрирование. Формула замены переменной. Метод

интегрирования по частям.

 

Непосредственное интегрирование. Используются свойства интеграла, а также преобразование подынтегральной функции с помощью алгебраических, тригонометрических формул. Цель интегрирования: получить ответ в виде функции!

Метод замены переменной. Частным случаем этого метода является так называемое подведение под дифференциал. Из инвариантности 1го дифференциала dy=f ‘(x)dx=f ‘(U)dU следует: ∫f(x)dx=∫f(U)dU

Метод интегрирования по частям. Пусть U(x), V(x) непрерывны и диф. на Х. Тогда, на Х: ∫UdV = UV-∫VdU

Доказательство:

d(U(x)*V(x)) = формула = U’(x)dx/dU(x) * V(x) + U(x) * V’(x)dx/V(x) è UdV=dUV-VdU

Выбор U и dV.

1) ∫x^ksinaxdx итд. За U(х) берём x^k, а за dV sinax, e^ax итд

2) ∫x^klnxdx, ∫x^karcsinxdx. За U(x) берём трансцендентную функцию, а за dV x^k

3) ∫e^axsinbxdx. За U(x) берём e^ax, а за dV sinx/cosx ДВАЖДЫ!

∫e^2xsinxdx = (e^2x(2sinx-cosx)/5)+C

 

Билет 32. Рациональные дроби. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.

 

Многочлен – алгебраическое выражение вида a₀+a₁x+a₂x²…a_nxⁿ

Рациональная дробь. Обозначим P_m(x) и Q_n(x) многочленами степени m и n. Рациональная дробь R(x) – отношение двух этих многочленов: R(x) = P_m(x)/Q_n(x). Если дробь правильная, то m<n, если неправильная, то m>=n. Если дробь неправильная, то можно выделить целую часть делением числителя на знаменатель уголком.

Разложение рациональной дроби на простейшие. Qn(x) = an*(x1-c1)^ν1*(x2-c2)^ν2*(xl-cl)^νl*(x2+px+q_n) ^νn (1)

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей 4 типов:

A/(x-a), A/(x-a)^k, (Mx+N)/(x²+px+q), (Mx+N)/(x²+px+q)^k

В разложении P_m(x)/Q_n(x) на элементарные дроби сомножителю (x-a)^k будет соответствовать сумма k дробей вида A1/(x-a) + A2/(x-a)² + … + Ak/(x-a)^k (метод неопределённых коэффициентов)

Интегрирование простейших дробей.

 

Интегрирование рациональных дробей. Неопределённый интеграл от нерациональной дроби существует на любом промежутке, где её знаменатель не обращается в 0 и представляется в виде суммы рациональных функций, log, arctg итд.