Обобщённый гармонический ряд

Второй признак сравнения

Теорема (о втором признаке сравнения)

Если и - ряды с положительными членами и существует конечный, не равный нулю предел отношения их общих членов при п ®¥:

(1.30)

то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

 

Пример. Исследовать сходимость ряда .

При достаточно больших значениях n имеем . Поэтому в качестве ряда сравнения можно рассмотреть гармонический ряд с общим членом Тогда

.

На основании предельного признака сравнения заключаем; что в силу расходимости гармонического ряда расходится и данный ряд с общим членом .

 

Признак Д’Аламбера

Теорема (признак Д'Аламбера). Если для знакоположительного ряда

() (1.31)

существует предел , (1.32)

то:

при l < 1 ряд сходится,

при l > 1 ряд расходится;

при l =1 ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, т.е. признак неприменим.

 

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

.

Последующий член ряда получается из предыдущего заменой n на n +1.

= ряд сходится.

Пример 2. .

ряд расходится (заметим, что в формулировке теоремы не требуется, чтобы предел был конечным).

Пример 3. .

.

Здесь признак Даламбера не работает. Однако общий член ряда не стремится к нулю:

т.е. выполняется достаточный признак расходимости ряда. Ряд расходится.

 

Замечание. Признак Даламбера удобно применять, когда общий член ряда содержит факториалы или показательные функции относительно п.

 

Радикальный признак Коши

 

Рассмотрим ряд с неотрицательными членами

. (1.37)

Теорема (радикальный признак Коши)

Если для ряда (1.39) c неотрицательными членами существует конечный предел то:

при l < 1 ряд сходится,

при l > 1 ряд расходится;

при l =1 ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, т.е. признак неприменим.

Доказательство аналогично доказательству теоремы Д'Аламбера.

 

Замечание. Радикальный признак Коши эффективен, если общий член ряда имеет вид , т.е. является какой-либо функцией от номера п, возведенной в степень п.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

- ряд сходится.

 

Интегральный признак Коши

 

Теорема (интегральный признак Коши).

Пусть дан ряд

(1.38)

с положительными и монотонно убывающими членами, т.е.

, .

Пусть члены этого ряда являются значениями некоторой положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале функции при натуральных значениях аргумента:

Тогда если сходится несобственный интеграл:

, (1.39)

то сходится и ряд (1.38)(См. рис.1.11.1).

 

Пример 1. .

В качестве функции возьмем

Это легко сделать, заменив п на х. Тогда

.

Составим несобственный интеграл:

,

следовательно, ряд сходится.

 

Пример 2. Исследовать на сходимость гармонический ряд:

.

1) Исследуем на сходимость по признаку Даламбера: ,

т.е. о сходимости ряда по признаку Даламбера ничего сказать нельзя.

2) Применим более сильный признак сходимости - интегральный признак Коши. В качестве функции возьмем , тогда .

,

гармонический ряд расходится.

 

Замечание. Иногда приходится брать интеграл не от 1, а от других чисел, например, от 2.

 

Обобщённый гармонический ряд

 

Определение. Ряд вида:

, (1.46)

где a - положительное число, называют обобщённым гармоническим.

Если a=1, то имеем гармонический ряд, который расходится.

Применим интегральный признак Коши, приняв .

. (1.47)

Во втором семестре I курса мы выяснили, что этот несобственный интеграл сходится при a >1 и расходится при a £1. Согласно теореме об интегральном признаке Коши обобщённый гармонический ряд ведёт себя так же: сходится при и расходится при .

 

Пример.

ряд расходится.