(1.3.34)
де m ― маса частинки; 
― циклічна частота осцилятора.
Графічна залежність потенціальної енергії класичного осцилятора показана на рис. 1.8.
Рис. 1.8
.
З рисунка видно, що осцилятор може мати практично довільну енергію, навіть рівну нулю. В точках -а і +а кінетична енергія осцилятора дорівнює нулю, а потенціальна енергія досягає свого максимуму. За межі області (-а, +а) класичний осцилятор вийти не може.
Квантовим осцилятором може бути лише елементарна частинка, яка поряд із корпускулярними властивостями проявляє і хвильові властивості. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної гратки. Потенціальна енергія квантового осцилятора має ту ж математичну залежність, що і класичний осцилятор (1.3.34).
Стаціонарне рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора має вигляд:
(1.3.35)
де m ― маса квантової частинки; 
― власна циклічна частота; Е ― повна енергія частинки.
Знаходження хвильових функцій квантового осцилятора є досить складною математичною задачею. Тому, опускаючи такі розв’язки, наводимо енергетичний спектр квантового осцилятора. Він має вигляд
(1.3.36)
де n= 0,1,2,3,... ― будь-яке ціле число, починаючи з нуля; 
― власна циклічна частота осцилятора; 
― стала Дірака.
Аналіз рівняння (1.3.36) показує, що енергетичний спектр квантового осцилятора є дискретним і що власні значення енергії дорівнюють:
, 
, 
В енергетичному спектрі (1.3.36) проміжки між енергетичними рівнями не залежать від квантового числа n, а є однаковими
(1.3.37)
Як показано на рис. 1.9, де енергетичний спектр квантового осцилятора суміщається з аналогічним спектром класичного осцилятора, квантовий осцилятор не має значень енергії рівних нулю.
Рис.1.9
Найменше значення енергії квантового осцилятора дорівнює
. (1.3.38)
Меншої енергії квантовий осцилятор не може мати навіть при абсолютному нулі температур.
Покажемо наближеним способом, що енергія квантового осцилятора квантується. З рис 1.10 видно, що на відрізку l=2х0 вкладається ціле число півхвиль де Бройля, тобто
(1.3.39)
де 
― середнє значення довжини хвилі де Бройля.
Звідки
(1.3.40)
Рис. 1.10
Середнє значення імпульсу кванта хвилі де Бройля
(1.3.41)
Середня кінетична енергія такого осцилятора
(1.3.42)
Відомо, що повна енергія Е перевищує середнє значення кінетичної енергії у два рази, тобто
(1.3.43)
З іншої точки зору повна енергія квантового осцилятора дорівнюватиме максимальній потенціальній енергії
(1.3.44)
Перемножимо рівності (1.3.43) і (1.3.44), одержимо
(1.3.45)
або
(1.3.46)
В межах точності наших міркувань 
»1, тому
(1.3.47)
де n =1,2,3,... ― цілі числа.
Наближений розрахунок показує, що енергія квантового осцилятора набуває ряду дискретних значень, тобто квантується.
Точне значення енергії для не збудженого квантового осцилятора нульового рівня можна одержати з рівняння Шредінгера (1.3.35), якщо згідно з рис. 1.10 скористатись функцією Гаусса, яка дорівнює
(1.3.48)
де а ― стала величина, яку слід визначити.
Другу похідну від (1.3.48) підставимо в (1.3.35)
звідки
. (1.3.49)
Тотожність (1.3.49) має місце у випадку рівності коефіцієнтів при х2 і вільних членів, тобто
(1.3.50)
Система рівнянь (1.3.50) дає можливість одержати значення енергії Е і сталої величини а
. (1.3.51)
Таким чином функція Гаусса є розв’язком рівняння Шредінгера (1.3.35) лише за умови коли 
.
В цьому випадку
. (1.3.52)
Слід відмітити, що оскільки відстань між суміжними рівнями енергії квантового осцилятора дорівнює 
то з урахуванням одержуємо енергетичний спектр квантового осцилятора у вигляді
(1.3.53)
де n = 0,1,2,3,...
1.3.4. Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр.Тунельний ефект
Класична частинка не може перебувати в тих місцях, де її потенціальна енергія U(x) перевищувала б повну енергію частинки E. Щодо квантової частинки, то вона має таку властивість через те, що існує відмінна від нуля імовірність проникнення її крізь потенціальний бар’єр, тобто в область, де U(x) > E.
Проведемо оцінку цієї імовірності шляхом розв’язування такої задачі. Нехай квантова частинка з масою m, рухаючись в напрямі осі х, вдаряється в потенціальний бар’єр кінцевої висоти U0, тобто
причому енергія частинки Е менша висоти бар’єра U0, (рис. 1.11).
Рис. 1.11
В області потенціального бар’єра рівняння Шредінгера для стаціонарних станів набуде вигляду
(1.3.54)
Якщо позначити вираз 
через 
, то рівняння (1.3.54) перепишеться
. (1.3.55)
