V Врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний (условно 1-ое и 2-ое), причём степень своей уверенности он оценивает соответственно как 40% на 60%. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, положительный результат которого подтверждает 1-ое заболевание в 90% случаев и 2-ое заболевание – 20 %. Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнение врача после этого?
ÏСобытие А –положительный результат анализа.
Гипотезы: Н1 – имеет место 1-ое заболевание.
Н2 – имеет место 2-ое заболевание.
Априорные вероятности: P(H1)=0.4, P(H2)=0.6. Условные вероятности (положительная реакция при заболевании): Р(A|H1)= 0.9, Р(A|H2)= 0.2.
По формуле Байеса 
.
Врач с большей уверенностью поставит диагноз: 1-ое заболевание. N
СХЕМА БЕРНУЛЛИ
Повторные испытания – это последовательное проведение 
раз одного и того же опыта или одновременное проведение одинаковых опытов.
Схемой Бернулли (или последовательностью независимых одинаковых испытаний) называется последовательность испытаний таких что:
- при каждом испытании различают два исхода - появление некоторого события А (удача) и не появление (неудача);
- испытания являются независимыми, т.е. вероятность успеха в испытании не зависит от исходов в предыдущих испытаниях;
- вероятность успеха во всех испытаниях постоянна Р(А)=р, соответственно вероятность неудачи q=1–p.
Примеры реальных испытаний, которые вписываются в рамки схемы Бернулли:
- подбрасывание раз монеты (успех – герб: p=½, q =½), игральной кости (успех -выпадение 6: p =1/6, q=5/6) - идеальное соответствие схеме Бернулли.
- выстрелы стрелка по мишени (успех – попадание, p - вероятность попадания), соответствие схеме Бернулли очень приближённо, т.к. независимость результатов стрельбы может быть нарушена либо из–за пристрелки, либо из–за усталости стрелка.
- испытание приборов в течение заданного срока (р – вероятность безотказной работы); обычно хорошо согласуется со схемой Бернулли.
Основной задачей является вычисление вероятности того, что при испытаниях событие А произошло ровно 
раз. Важно подчеркнуть, что нам не важно, в какой последовательности произошли события. Например, если речь идёт о появлении события А 2 раза в 4 испытаниях, то комбинация (У-успех, Н-неудача) УННУ устраивает так же как и УУНН.
Теорема. Вероятность 
того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно успехов, определяется формулой Бернулли 
,
где Cnk: сочетание- количество способов из множества, содержащего элементов выбрать множество, содержащее из элементов 
.
Доказательство.
Представим результат опыта как УУН…НУ (один из вариантов). Количество У - равно .
События У и Н - независимы, поэтому
Cколько может быть таких вариантов?
| У | У | У | У | У |
Сколькими способами в местах (ячеек, испытаний) можно занять мест (поставить фишки и т. д.)? - Сnk
Например - 3 успеха в 4 испытаниях -С43
НУУУ
УНУУ
УУНУ
УУУН
Эти события несовместны, т.к. не могут произойти одновременно, поэтому вероятность их объединения равна сумме их вероятностей.
. <
Следствия:
1. Вероятность появления события А в испытаниях не более 
раз и не меньше 
раз:
Pn(k1 ≤ k ≤ k2) = 
-т.к. события при разных являются несовместными.
2. Вероятность появления А хотя бы один раз в испытаниях.
Pn(k ≥ 1) = 1 – qn = 1- Pn(k=0) = 1- Cn0p0qn=1-qn
V В семье 10 детей. Считая вероятность рождения мальчика равной 0.5, определить:
a. Вероятность того, что в семье ровно 5 мальчиков;
b. Вероятность того, что в семье не более 5 мальчиков;
c. Вероятность того, что в семье хотя бы 1 мальчик.
Ï а) Р10(к=5) = С105(1/2)5(1/2)5 = 
(1/2)10≈0,246;
b) Р10(0≤ к≤ 5) = 
С10к(1/2)n(1/2)n-k = (С100+С101 +С102 +С103 +С104+С105)/1024 ≈0.623;
c) Р10(k≥1) = 1 – (½)10 = 1-1/1024 = 1023/1024 ≈ 0.999. N
V В течение 6 дней ведутся ремонтные работы водопровода. Вероятность того, что вода будет отключена на сутки 
и не зависит от хода ремонтных работ. Определить вероятность того, что в течение этой злосчастной недели ровно 4 суток не будет воды.
Ï Р6(к=4) = С64 0.754 0.252 = 
≈0.3. N
Якоб Бернулли
1654-1705
Швейцарский математик.
Наиболее значительны достижения в развитии анализа бесконечно малых, теории рядов, вариационного исчислении и теории вероятностей. Благодаря его работам теория вероятностей приобрела важнейшее значение в практической деятельности.
