Лекции.Орг
 

Категории:


Архитектурное бюро: Доминантами формообразования служат здесь в равной мере как контекст...


Объективные признаки состава административного правонарушения: являются общественные отношения, урегулированные нормами права и охраняемые...


Классификация электровозов: Свердловский учебный центр профессиональных квалификаций...

Следствие из теоремы умножения вероятностей для независимых событий



Загрузка...

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению их вероятностей

.

V Я пользуюсь электронной почтой. На прошлой неделе я посылаю письмо подруге, коллеге и тезисы на конференцию. Ни на одно письмо нет ответа. В принципе не ответить может каждый. Найти вероятность неработы почты, если вероятность события «нет ответа от подруги» равна 0.5, вероятность события «нет ответа от коллеги» равна 0.3 и вероятность события «нет ответа с конференции» равна 0.2?

Ï Обозначим вышеперечисленные события А, В и С. Тогда событие АВС - не ответил никто. Т.к. эти события независимы в совокупности, то

Можно сделать вывод, что письма дальше сервера не уходят. N

 

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности. Вероятности появления каждого события известны. Как найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий (т.е. или одно, или два, …, или все n событий)?

J V Заранее известны вероятности прихода на лекцию каждого студента группы СУА. Какова вероятность того, что на лекции будет хотя бы один студент этой группы?

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1,…, Аn , независимых в совокупности, равняется:

, где - противоположные события.

Доказательство:

Событие А – появление хотя бы одного из событий. Тогда Ā – непоявление ни одного события (не наступит ни 1-е, ни 2-е, …, ни n-е событие).

Ā = Ā1 Ā2 … Ān

Т.к. события независимы и

<

 

V Пусть события значат соответственно, что группы ГКСР, СУА, ЗИОД пришли на лекцию в полном составе. Будем считать эти события независимыми и пусть (J либо пришли, либо нет). Найти вероятность того , что на лекции есть хотя бы одна группа в полном составе.

Ï Событие А – «хотя бы одна группа пришла в полном составе».

N

 


ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Теперь, имея уже представления об элементарных действиях над событиями и оставаясь в рамках классического определения вероятности Р(А) = m/n (m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n - общее число элементарных исходов) докажем теорему сложения вероятностей.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:Р(А+В) = Р(А)+Р(В)

Доказательство.

n - число всех элементарных исходов.

m1 – число исходов, благоприятствующих А.

m2 – число исходов, благоприятствующих В.

 

Р(А+В)=(m1+m2)/n = m1/n + m2/n = P(A) + P(B) <

 

Следствие. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме этих событий:

P(A1+A2+…+An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

Доказательство.

Рассмотрим 3 события.

P(A1+A2+A3)=P((A1+A2)+A3)=

(т.к. события несовместны) =P(A1+A2)+P(A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3).

На произвольное число событий доказательство обобщается методом матиндукции. <

<

 

Вспомним полную группу попарно несовместных событий (события образуют полную группу попарно несовместных событий, если в результате опыта обязательно происходит только одно из них).

 

Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1:

P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1

 

Доказательство.

А12+…+An=Ω (достоверное событие)

P(Ω)=1 Þ P(A1+…+An)=1

Т.к. несовместны, то

P(A1)+…+P(An)= P(A1+…+An)=1. <

 

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: P(A)+P(Ā)=1

Доказательство: противоположные образуют полную группу. <

 

V Найти вероятность того, что ни она из граней случайно выбранной костяшки домино не кратна 4.

Ï

           

Найдем вероятность события А - одна из граней кратна 4:

P(A)=7/28=1/4. Нам нужно найти вероятность противоположного события P( )=1-1/4=3/4. N

 

Мы помним, что Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – если А, В

несовместны. А если совместны?

 

Теорема. Вероятность суммы двух

совместных событий равна сумме вероятностей этих





Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 284 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. A. Полиция и следствие
  2. II. ОБЗОР. Пациенты с тяжелой ЧМТ относятся к категории значительного риска развития венозных тромбоэмболических событий с соответствующим увеличением заболеваемости и
  3. V1. Алгебра случайных событий
  4. А. Ход Мировых Течений — значения многих событий сливаются, порождая новое
  5. Автоколебания - это незатухающие колебания, возникающие в колебательной системе вследствие наличия положительной обратной связи
  6. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом
  7. Акт для предотвращения неудобств, которые могут возникнуть вследствие несвоевременного перерыва в сессии, приостановки деятельности или роспуска
  8. Алгоритмы эффективного кодирования неравновероятных взаимнонезависимых символов источников сообщений
  9. Английский математик. Математические исследования относятся к теории вероятностей. Поставил и решил одну из основных задач элементарной теории вероятностей (теорема Байеса)
  10. Аномалии и пороки развития. Аномалии развития тонкой кишки являются следствием различных на­рушений эмбриогенеза
  11. Библиографический список. 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб
  12. Бихевиорально - социальные цели. Бихевиорально-социальные аспекты терапии орального характера являются прямым следствием эмоциональных и когнитивных целей и в определенной степени требуют


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.004 с.