Уравнения напряжений трансформатора

Основной переменный магнитный поток Ф в магнитопроводе трансформатора, сцепляясь с витками обмоток w₁ и w₂ (см. рис. 1.1), наводит в них ЭДС [см. (1.1) и (1.2)]

Предположим, что магнитный поток Ф является синусоидальной функцией времени, т. е.

, (1.4)

где Ф_max – максимальное значение потока.

Тогда, подставив (1.4) в формулу ЭДС e₁ и дифференцируя, получим

. (1.5)

Но так как , то

. (1.6)

По аналогии,

. (1.7)

Из (1.6) и (1.7) следует, что ЭДС e₁ и е₂ отстают по фазе от потока Ф на угол . Максимальное значение ЭДС

. (1.8)

Разделив на и подставив , получим действующее значение первичной ЭДС (В):

. (1.9)

Аналогично, для вторичной ЭДС

. (1.10)

Отношение ЭДС обмотки высшего напряжения к ЭДС обмотки низшего напряжения называют коэффициентом трансформации:

. (1.11)

При практических расчетах коэффициент трансформации с некоторым допущением принимают равным отношению номинальных напряжений обмоток ВН и НН: .

Рис. 30. Магнитные потоки в однофазном трансформаторе

Токи I₁ и I₂ в обмотках трансформатора помимо основного магнитного потока Ф создают магнитные потоки рассеяния Ф_σ1 и Ф_σ2 (рис. 30), каждый из которых сцеплен с витками лишь собственной обмотки и индуцирует в ней ЭДС рассеяния. Эти ЭДС в первичной и вторичной обмотках таковы:

где L_σ1 и L_σ2 – индуктивности рассеяния.

Так как магнитные потоки рассеяния замыкаются главным образом в немагнитной среде (воздух, масло, медь), магнитная проницаемость которой постоянна, то и индуктивности L_σ1 и L_σ2 можно считать постоянными.

Действующие значения ЭДС рассеяния пропорциональны токам в соответствующих обмотках:

, (1.12)

где х₁ и х₂ – индуктивные сопротивления рассеяния первичной и вторичной обмоток соответственно, Ом (знак минус в этих выражениях свидетельствует о реактивности ЭДС рассеяния).

Таким образом, в каждой из обмоток трансформатора индуцируются пв две ЭДС: ЭДС от основного потока Ф и ЭДС от потока рассеяния (Ф_σ1 в первичной обмотке и Ф_σ2 во вторичной обмотке).

Для первичной цепи трансформатора, включенной в сеть на напряжение U₁, с учетом падения напряжения в активном сопротивлении первичной обмотки r₁ можно записать уравнение напряжений по второму закону Кирхгофа:

или, перенеся ЭДС и в правую часть уравнения и выразив ЭДС рассеяния через индуктивное сопротивление рассеяния х₁, получим уравнение напряжений для первичной цепи трансформатора:

. (1.13)

ЭДС первичной обмотки Е₁, наведенная основным магнитным потоком Ф, представляет собой ЭДС самоиндукции, а поэтому находится в противофазе с подведенным к первичной обмотке напряжением U₁.

Обычно индуктивное и активное , падения напряжения невелики, а поэтому с некоторым приближением можно считать, что подведенное к трансформатору напряжение U₁ уравновешивается ЭДС Е₁, т. е.

. (1.14)

Для вторичной цепи трансформатора, замкнутой на нагрузку с сопротивлением Z_H, уравнение напряжений имеет вид

, (1.15)

т.е. сумма ЭДС, наведенных во вторичной обмотке , уравновешивается суммой падений напряжений . Здесь r₂ – активное сопротивление вторичной обмотки. Падение напряжения на нагрузке представляет собой напряжение на выводах вторичной обмотки трансформатора:

. (1.16)

Приведем уравнение (1.15) к виду, аналогичному уравнению ЭДС для первичной цепи (1.13). При этом учтем выражения (1.12) и (1.16) и получим уравнение напряжений для вторичной цепи трансформатора:

. (1.17)

Из этого уравнения следует, что напряжение на выходе нагруженного трансформатора отличается от ЭДС вторичной обмотки на величину падения напряжений в этой обмотке.

Трансформатор работает в режиме холостого хода (рис. 31, а), если к зажимам его первичной обмотки подведено напряжение U₁, а вторичная обмотка разомкнута (I₂ = 0). Ток I₀ в первичной обмотке при этих условиях называют током холостого хода.

Магнитодвижущая сила (МДС) I₀w₁, созданная этим током, наводит в магнитопроводе трансформатора основной магнитный поток, максимальное значение которого

, (1.18)

где R_М – магнитное сопротивление магнитопровода.

При замыкании вторичной обмотки на нагрузку Z_Н (рис. 31, б) в ней возникает ток I₂. При этом ток в первичной обмотке увеличивается до значения I₁.

Теперь поток Ф_max создается действиями МДС I₁w₁ и I₂w₂:

. (1.19)

Этот поток можно определить из (1.9):

или, принимая во внимание, что , получим

. (1.20)

Из (1.20) следует, что значение основного магнитного потока Ф практически не зависит от нагрузки трансформатора, так как напряжение U₁ неизменно. Однако следует иметь в виду, что это положение является приближенным и относится к случаям нагрузки, не превышающим номинальную. Объясняется это тем, что положение о неизменности потока Ф принято на основании уравнения , которое не учитывает падений напряжения в первичной цепи [сравните с (1.13)].

Принятое положение Ф = const позволяет приравнять выражения (1.18) и (1.19):

Рис. 31. Режимы холостого хода (а) и нагрузки (б)

в однофазном трансформаторе

и получить уравнение МДС трансформатора:

. (1.21)

Преобразуя (1.21), можно МДС первичной обмотки представить в виде суммы двух составляющих:

Составляющая наводит в магнитопроводе трансформатора основной магнитный поток Ф, а составляющая уравновешивает МДС вторичной обмотки .

Разделив уравнение МДС (1.21) на число витков w₁ получим

, (1.23)

где – ток нагрузки (вторичный ток), приведенный к числу витков первичной обмотки.

Преобразовав выражение (1.23), получим уравнение токов трансформатора:

. (1.24)

Из этого уравнения следует, что первичный ток I₁ можно рассматривать как сумму двух составляющих: составляющую I₀, создающую МДС I₀w₁, необходимую для наведения в магнитопроводе основного магнитного потока Ф, и составляющую , которая, создавая МДС , компенсирует МДС вторичной обмотки I₂w₂ трансформатора. Такое действие составляющих первичного тока приводит к тому, что любое изменение тока нагрузки I₂ сопровождается изменением первичного тока I₁ за счет изменения его составляющей , находящейся в противофазе с током нагрузки I₂.

Основной магнитный поток Ф является переменным, а поэтому магнитопровод трансформатора подвержен систематическому перемагничиванию. Вследствие этого в магнитопроводе трансформатора имеют место магнитные потери от гистерезиса и вихревых токов, наводимых переменным магнитным потоком в пластинах электротехнической стали. Мощность магнитных потерь эквивалентна активной составляющей тока х.х. Таким образом, ток х.х. имеет две составляющие: реактивную I_0р, представляющую собой намагничивающий ток, и активную I_0а, обусловленную магнитными потерями:

. (1.25)

Обычно активная составляющая тока х.х. невелика и не превышает 0,10 от I₀, поэтому она не оказывает заметного влияния на ток х.х.

На рис. 32, представлена векторная диаграмма, на которой показаны векторы тока х.х. и его составляющих и . Угол δ, на который вектор основного магнитного потока Ф_max отстает по фазе от тока , называют углом магнитных потерь. Нетрудно заметить, что этот угол увеличивается с ростом активной составляющей тока х.х. I₀_a, т. е. с ростом магнитных потерь в магнитопроводе трансформатора.

Рис. 32. Разложение тока х.х. на составляющие

Сила тока х.х. в трансформаторах большой и средней мощности соответственно составляет 2–10% от номинального первичного тока. Поэтому при нагрузке, близкой к номинальной, пренебрегая током I₀ и преобразуя (1.22), получим

, (1.26)

т. е. токи в обмотках трансформатора обратно пропорциональны числам витков этих обмоток: ток больше в обмотке с меньшим числом витков и меньше в обмотке с большим числом витков. Поэтому обмотки НН выполняют проводом большего сечения, чем обмотки ВН, имеющие большее число витков.