Метод наименьших квадратов

КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКА

 

 

Задания к контрольной работе

Для студентов–заочников специальностей

7.100304 "Судовождение",

Quot;Технологія хранения, консервирования и переработки

рыбы и морепродуктов"

Белгород-Днестровского учебно-консультационного центра КМТИ

Керчь

УДК 681.3;338.984

Авторы:	Ершов М.Н.,к.т.н., доцент кафедры информатики и прикладной математики Керченского морского технологического института.   Сикерина Н.В., ст. преподаватель кафедры информатики и прикладной математики Керченского морского технологического института.
Рецензенты:	Ильин Б.В., к.т.н., зав. кафедрой информатики и прикладной математики Керченского морского технологического института. Полупанов В.Н., к.т.н., директор фирмы «Эликон».

Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры информатики и прикладной математики КМТИ, протокол № 7 от 20.03.2004.

Методические указания рассмотрены и одобрены на ученом совете КМТИ, протокол № 8 от 24.04.2004.

©Керченский морской технологический институт, 2004

Общие организационно-методические указания

Раздел "Численные методы решения задач" дисциплины “Информатика” для специальностей 7.100304, 7.091708 рассчитан на 2 семестра. В 1-м студенты изучают теоретический курс, выполняют контрольную работу №3 и сдают экзамен, во 2-м выполняют заключительную курсовую работу.

Вычислительная часть контрольной работы выполняется в среде Excel. Отчет по контрольной работе оформляется в установленном порядке и должен по каждому из 5 заданий содержать:

1. ответы на контрольные вопросы;

2. формулировку задания с указанием данных, выбранных из таблицы вариантов;

3. EXCEL-файл решения задачи (представляется на дискете);

4. результаты решения задачи.

Примеры выполнения заданий контрольной работы №3, а также перечень необходимой учебной литературы представлены в методической разработке " ИНФОРМАТИКА. Часть 2. Численные методы решения задач. Задания и методические указания к выполнению курсовой работы. Керчь 2003 ".

Варианты заданий определяются по последней цифре номера зачетной книжки.

 

З А Д А Н И Е 1. РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЗАДАЧА

Найти корни алгебраического уравнения F (x) =0 на промежутке[ х_н,х_к ]методом простых итераций. Предварительное отделение корней уравнения произвести путем табулирования функции F (x) на заданном промежутке с шагом, равным1/20от длины промежутка.

В качестве результата представить:

- преобразование исходного уравнения к виду x = СF (x)+ x с определением значения свободной константы С из условия сходимости метода;

- результат отделения корней;

- значение корня уравнения и количество итераций для его достижения для значений точности =0.001, 0.0001, 0.00001.

ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ

№	Уравнение	Промежуток		№	Уравнение	Промежуток
х н	х к		х н	х к
		-3
		-9,5	0,5				-10
		-1,5	4,5				-1
		-1
		-9	-2

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие уравнения называются трансцендентными?

2. Назовите два этапа решения трансцендентных уравнений в порядке их выполнения. В чем заключается идея первого этапа?

3. Запишите вывод формулы нахождения координаты точки Р в методе хорд. Запишите условие отбора отрезка, где находится искомый корень уравнения.

4. Почему в методе хорд нельзя использовать в качестве критерия окончания вычислительного процесса выполнение неравенства B-A< e?

5. Охарактеризуйте различие геометрической интерпретации метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона. Какой из перечисленных методов имеет лучшую сходимость, а какой более прост в реализации?

6. Запишите итерационную формулу модифицированного метода Ньютона.

 

З А Д А Н И Е 2. АППРОКСИМАЦИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПОЛИНОМ НЬЮТОНА

ЗАДАЧА

Даны узловые точки Х ₁, Х ₂, Х ₃, Х ₄, Х ₅ и соответствующие им известные значения аппроксимируемой функции F (x): F ₁, F ₂, F ₃, F ₄, F ₅.

Требуется:

1) построить интерполяционный полином Ньютона P ₄(x) четвертого порядка.

2) построить график P ₄(x) на промежутке [ X _N, X _K] с дискретностью 1/20 от длины промежутка;

В качестве результата представить:

- аналитическую запись полученного полинома;

- результаты вычисления полученного полинома в узловых точках Х ₁, Х ₂, Х ₃, Х ₄, Х ₅

ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ

№	Узловые точки	Расчетные значения F (x)	[ X N, X K]
X 1	X 2	X 3	X 4	X 5	F 1	F 2	F 3	F 4	F 5
	-1,30	0,05	0,95	1,85	3,20	1,04	2,05	2,81	2,96	1,94	[-4; 5]
	-0,70	-0,10	0,70	1,50	1,90	-0,36	-0,05	0,36	0,93	1,40	[-1,5; 2,5]
	2,30	4,30	6,30	7,30	8,80	0,32	-0,21		0,12	0,07	[0,3; 10,3]
	2,20	2,80	3,40	3,70	4,15	-1,34	-1,09	-1,27	-1,54	-2,67	[1,6; 4,6]
	2,10	4,10	5,70	7,30	8,10	1,89	1,74	1,53	1,36	1,29	[1,3; 9,3]
	1,80	2,70	3,60	4,50	6,30	0,37	-0,24	-0,67	-0,59	0,51	[1,2; 7,2]
	2,50	4,00	6,50	7,50	9,00	-0,34	-0,09	0,27	0,43	0,70	[1; 11]
	1,15	1,30	1,50	1,75	1,85	2,28	4,09	5,13	4,78	6,02	[1; 2]
	5,20	7,20	8,40	10,00	11,20	-6,97	-5,61	-6,69	-11,08	-13,16	[4; 12]
	4,10	4,30	4,70	4,90	5,10	0,81	1,12	0,53	0,1	0,04	[3,5; 5,5]

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что понимается под термином аппроксимация?

2. Сформулируйте условия Лагранжа при интерполяции.

3. Для аппроксимации функции F (x) на участке [ a, b ] был выбран интерполяционный полином Ньютона. После его построения были найдены значения функции в точке a < x ₁< b и x ₂> b. В каком случае ожидаемая точность полученного значения выше и почему?

4. Перечислите известные вам способы построения интерполяционного полинома.

5. В каком случае применение полинома Лагранжа более оправдано по сравнению с использованием канонического полинома и почему?

6. В чем состоит идея сплайн-интерполяции?

7. Почему в сплайн-интерполяции чаще всего применяют кубические сплайны?

8. Выберите правильный ответ на вопрос: "Что обеспечивается при интерполяции сплайнами?"

а) равенство значений производных;

б) равенство значений в узлах и непрерывность производных;

в) минимум максимального отклонения.

 

З А Д А Н И Е 3. АППРОКСИМАЦИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ЗАДАЧА

По имеющемуся набору экспериментальных данных о зависимости F (x) построить методом наименьших квадратов аппроксимирующие зависимости G (x) и H (x) в виде G (x)= A + Bx, H (x)= C e ^Dx и сравнить их по критерию «средний квадрат отклонения».

В качестве результата представить:

-аналитическую запись полученных функций G (x) и H (x);

-полученные для обеих функций значения среднего квадрата отклонения;

ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ

X	З н а ч е н и я ф у н к ц и и F(x)		X	З н а ч е н и я ф у н к ц и и F(x)
Вар.0	Вар.1	Вар.2	Вар.3	Вар.4		Вар.5	Вар.6	Вар.7	Вар.3	Вар.9
1,00	1,0763	1,2517	1,3230	0,6277	1,8814		-1,00	1,2188	7,4220	0,8739	5,2215	0,7932
1,00	1,0958	2,4367	1,4282	1,8690	1,8362		-1,00	1,8744	7,2743	0,3451	5,2551	0,7023
1,00	1,1383	1,1782	1,2831	0,4060	1,8883		0,10	2,5227	3,9034	0,2551	3,1721	0,6109
1,40	1,0164	1,3449	1,1846	1,3298	1,4621		1,40	3,7513	1,9399	1,1792	1,8205	1,5195
1,80	0,8448	0,8970	1,0423	2,2396	1,2024		1,80	3,2916	1,4080	2,7255	1,0110	1,1280
1,80	0,8451	2,2131	0,9386	2,0336	1,1520		1,80	2,6521	1,4022	1,6945	1,4741	1,2064
2,20	0,7522	1,3838	0,8643	1,4532	1,2381		1,90	3,7389	1,2177	1,7536	1,0859	2,0333
2,20	0,7373	2,9157	0,8048	2,8410	1,0669		2,00	3,0509	1,2728	2,7337	1,1864	1,4756
2,60	0,7308	3,0485	0,6675	2,3196	0,7721		2,00	3,7143	1,4258	2,1889	1,2272	1,9645
3,00	0,6000	2,9941	0,5978	3,7697	0,5254		2,20	4,0200	1,3204	2,4792	1,0077	2,3354
3,40	0,4993	6,2228	0,5266	3,4957	0,4590		2,40	3,7461	1,1501	2,5267	1,1415	3,0000
3,40	0,5338	4,2152	0,5803	4,0342	0,5279		2,40	4,8381	1,0199	2,4428	1,1088	2,8193
3,40	0,5165	6,6556	0,4813	3,7366	0,7434		3,00	5,0505	0,4076	4,3727	0,4204	2,9146
3,80	0,4420	6,2930	0,5195	4,5619	0,6277		3,00	4,6304	0,4654	4,3626	0,7858	3,2616
3,80	0,4321	6,6981	0,5007	5,2506	0,6442		3,30	5,9083	0,6565	4,7978	0,5386	3,3511
4,20	0,3882	9,4535	0,4187	5,7408	0,5844		3,60	5,8075	0,3249	5,6142	0,6977	4,0366
4,20	0,4114	8,2133	0,4140	5,3274	0,5569		3,60	5,8265	0,5175	5,6892	0,7369	3,7288
4,20	0,4066	8,4742	0,4621	5,6536	0,1952		4,00	5,8601	0,1873	5,6279	0,1482	4,6823
4,60	0,3975	11,9610	0,2657	7,4624	0,3174		4,00	7,3884	0,3377	5,3762	0,4855	5,5250
5,00	0,3139	15,6451	0,1904	8,9393	0,3803		4,00	6,1544	0,2686	6,4613	0,2665	4,8807

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В каких случаях целесообразно использовать для аппроксимации метод наименьших квадратов?

2. Что минимизируется в методе наименьших квадратов?

3. Зачем в методе наименьших квадратов величина e берется в квадрате?

4. От чего зависит выбор базисных функций в методе наименьших квадратов?

5. Какие базисные функции используются при линейной аппроксимации МНК?

6. Как получены формулы для коэффициентов C и D при экспоненциальной аппроксимации?

З А Д А Н И Е 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ЗАДАЧА

Требуется вычислить интеграл вида

где f (x) – подынтегральная функция, непрерывная на [ a,b ];

a,b – нижний и верхний пределы интегрирования.

Требуется вычислить значения интеграла S_Л, S_П, Sс методами левых, правых и средних прямоугольников, и S_Т1,S_Т2 методом трапеций для двух разных разбиений n ₁=10, n ₂=20, по которым определить уточнение S_Р по Ричардсону.

В качестве результата представить:

1) значение интеграла S_Л, S_П, Sс, вычисленные методами прямоугольников для n =20;

2) значения интеграла S_Т1,S_Т2, вычисленные методом трапеций для n ₁=10, n ₂=20;

3) уточнение по Ричардсону (S_Р);

5) ошибки значений S_Л, S_П, S_с, S_Т1, S_Т2 по сравнению с S_Р.

 

ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ

№	Интеграл	[ a, b ]		№	Интеграл	[ a, b ]
		[0, 1.2]				[-0.5, 1.0]
		[-2, 2]				[0, 4.5]
		[0,3]				[0, 10]
		[-1, 1.4]				[0, 2]
		[-3, 3]				[0.5, 3]

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем состоит суть методов численного интегрирования?

2. На что и как влияет количество разбиений при численном интегрировании? Можно ли увеличивая количество разбиений промежутка интегрирования бесконечно повышать точность интегрирования?

3. Как определяется значение частичного интеграла в методах прямоугольников?

4. Какой из методов прямоугольников имеет меньшую погрешность? Почему?

5. Выберите правильный ответ на вопрос: «Чем отличаются методы прямоугольников, трапеций, Симпсона?»

а) числом разбиений промежутка интегрирования;

б) поpядком аппроксимирующего полинома;

в) шагом интерполяции.

6. Учитывая формулы оценки погрешностей для метода средних прямоугольников и метода трапеций объяснить:

а) Почему величина S _c получилась в 2 раза меньше, чем величина S _Т2?

б) Почему величина S _Т2 получилась в 4 раза меньше, чем величина S _Т1?

З А Д А Н И Е 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЗАДАЧА

Дано дифференциальное уравнение . Необходимо найти его решение методом Эйлера и методом Рунге-Кутта четвертого порядка при заданных начальных условиях y (x ₀)= y ₀ на заданном промежутке интегрирования [ x _НАЧ, х _КОН] с шагом, вычисленным по формуле: h =(x _КОН- х _НАЧ)/20.

В качестве результата представить таблицу, содержащую следующие графы:

1) значения аргумента х;

2) решение, полученное методом Эйлера;

3) решение, полученное методом Рунге-Кутта 4-го порядка;

4) ошибка метода Эйлера по сравнению с методом Рунге-Кутта

и совместный график решений, полученных обоими методами.

ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ

№	Дифференциальное уравнение	Начальные условия	Пределы интегрирования		№	Дифференциальное уравнение	Начальные условия	Пределы интегрирования
		y(0)=0.35	[0, 2]				y(0)=e	[0, 1]
		y(0)=0.15	[0, 2]				y(0)=1.0	[0, ]
		y(0)=1.35	[0, ]				y()=1	[ , ]
		y(0)=2.18	[0, ]				y(1)=0	[1, 2]
		y(0)=0.34	[0, 0.7]				y(0)=1.0	[0, 2]

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что является решением дифференциального уравнения?

2. Что является решением задачи Коши?

3. В чем заключается трудность численного решения задачи Коши с помощью рядов Тейлора?

4. Охарактеризуйте две группы методов решения задачи Коши.

5. Почему методы решения задачи Коши, использованные в данной работе, называются одношаговыми?

6. Каковы порядки точности использованных методов?

7. Какие источники погрешностей, связанные с численным решением задач Вы знаете?

8. Охарактеризуйте критерий для автоматического изменения шага интегрирования по методу Кутта-Мерсона.