Сечение многогранников плоскостью

Под сечением тела плоскостью понимают ту часть плоскости, которая находится внутри рассеченного тела. Контур сечения есть линия пересечения поверхности многогранника с секущей плоскостью.

Сечение многогранников всегда многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны на его гранях. Отсюда и возникают два способа построения сечения многоугольника.

1. Находят его вершины как точки пересечения ребер многогранника секущей плоскостью. Затем вершины соединяют между собой.

2. Строят стороны многоугольника сечения как линии пересечения граней многогранника секущей плоскостью.

Ввиду большей простоты решения обычно предпочитают первый способ, хотя в отдельных случаях удобно комбинировать оба способа.

Если секущая плоскость – плоскость общего положения, то проще всего преобразовать секущую плоскость методом перемены плоскостей проекций в проецирующую (см. § Перемена плоскостей проекций).

Задача. Построить сечение пирамиды плоскостью и найти его натуральную величину (рис. 82).

Так как секущая плоскость фронтально проецирующая, фронтальная проекция фигуры сечения определяется сразу и представляет собой отрезок 1₂ - 4₂. Устанавливаем количество и принадлежность вершин фигуры сечения ребрам пирамиды: 1 SA; 2 SB; 3 AC; 4 BC. Находим горизонтальные проекции вершин фигуры сечения с помощью вертикальных линий проекционной связи исходя из принадлежности их соответствующим ребрам пирамиды. Соединяем горизонтальные проекции вершин с учетом видимости сторон фигуры сечения. Только сторона 3-4 лежит на невидимом основании пирамиды и, следовательно, невидима (если смотреть сверху)

Рис. 82

Итак, проекции фигур сечения найдены. Определим видимость пирамиды при условии, что секущая плоскость и пирамида непрозрачны. Начнем с фронтальной проекции: так как плоскость сечения сливается на этой плоскости проекций в прямую, она не может закрывать пирамиду. Ввиду непрозрачности пирамиды ее ребро SB не видно, так как является задним, а грань ASC передняя и закрывает остальную часть пирамиды (чтобы установить это, надо на горизонтальную проекцию смотреть по стрелке R).

Чтобы определить видимость на горизонтальной проекции, смотрим на фронтальную проекцию по стрелке S. Все, что лежит между секущей плоскостью ω и стрелкой S, на горизонтальной проекции видно, остальное – не видно. Сама фигура сечения видна по периметру 4 2 1 3, - так как эта ее часть лежит на боковой видимой поверхности пирамиды и делит пирамиду на видимую и невидимую части. Сторона сечения 3-4 не видна, так как лежит на основании пирамиды и закрыта самим телом пирамиды.

Натуральную величину фигуры сечения можно определить методом перемены (замены) плоскостей проекций или вращением. Определим вторым методом. Повернем фигуру сечения вокруг стороны 3-4 (фронтально-проецирующая прямая) до наложения на плоскость П₁. При этом фронтальные проекции вершин фигуры сечения перемещаются по окружностям, а горизонтальные – по прямым, перпендикулярным к проекции оси вращения i ≡ 3-4. Натуральная величина фигуры сечения – 3421 (3₁4₁2₁’1₁’).