Необходимость. Пусть функция 
дифференцируема в точке х, т.е. её приращение в этой точке записывается в виде 
. Здесь А не зависит от 
, а 
– бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с , т.е. 
, где 
при 
. Тогда 
, 
. Следовательно, производная 
существует и равна А.
Достаточность. Пусть функция имеет производную в точке х, т.е. 
. Тогда имеем 
, где при . Следовательно, 
, т.е. функция дифференцируема в точке х, что и требовалось доказать.
Замечания: 1). Из теоремы следует равносильность утверждений о дифференцируемости функций в точке и о существовании конечной производной функции в этой точке.
2). Коэффициент 
в разложении (1) равен производной функции 
, т.е. 
, что следует из доказательства необходимого условия теоремы. Таким образом,
. (2)
3). Из определения дифференциала имеем
, или 
. (3)
В частности, для 
по формуле (3.15) получаем 
, и тогда
, или 
. (4)
Из последней формулы следует, что производную функции можно рассматривать как отношение дифференциалов. Таким образом, имеем ещё одно обозначение производной функции 
:
, или 
.
Пример: Найти в произвольной точке х дифференциал функций:
а) 
б) 
.
Решение: По формуле (4) получаем:
а) 
;
б) 
.
Необходимое условие дифференцируемости функций: если функция дифференцируема в точке 
, то она имеет производную в этой точке.
Свойства дифференциала:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
, 
.
Пример: Найти 
, 
, 
, если 
и 
.
Решение:
.
