Модуль 2 Элементы теории поля

2.1. В каждой точке поверхности , лежащей в первом октанте, уравнение которой , распределена масса с плотностью , где . Вычислить массу пластинки.

Решение. Масса вычисляется по формуле . Имеем:

, ,

Следовательно, масса

кв. ед.

2.2. Вычислить по нижней стороне поверхности , заданной уравнением над областью , ограниченной прямыми .

Решение.

В соответствии с теоремой существования и принимая во внимание, что поверхностный интеграл берётся по нижней стороне поверхности

, получим

2.3. С помощью формулы Остроградского вычислить интеграл , где – часть конической поверхности , а – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности.

Решение. Формула Остроградского применима в случае замкнутой поверхности.

Чтобы получить замкнутую поверхность, присоединим к поверхности конуса соответствующую часть плоскости . Обозначив эту часть плоскости через , по формуле Остроградского получаем:

Таким образом,

Для решения задачи необходимо вычислить интегралы, стоящие в правой части. В случае области – косинусы углов с осями координат нормали к плоскости , а именно: . Поэтому

Так как на плоскости и двойной интеграл равен площади круга радиуса , получающегося при пересечении конуса плоскостью.

При вычислении интеграла по объему производим сначала интегрирование по от до . Затем двойной интеграл по области в плоскости . Эта область является кругом . Она получается проецированием объема на плоскость .

Таким образом,

Обозначая последний интеграл через и переходя к полярным координатам по формулам

находим

Итак, .

2.4. Вычислить поверхностный интеграл по верхней стороне полусферы

Решение: Преобразуем уравнение поверхности к виду:

Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

2.5 Найти объем шара

Решение: Найти объем шара можно по формуле:

2.6. С помощью формулы Стокса вычислить криволинейный интеграл

, где – окружность , пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси .

Решение.

В нашем случае , поэтому .

По формуле

, где – часть плоскости , ограниченная окружностью. Приводя уравнение окружности к нормальному виду, находим

Таким образом, , где – радиус круга, ограниченного указанной окружностью.

2.7. Найти частные производные функции

Решение.

2.8. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Так как и , то и . Смешанные производные и

2.9. Найти производную скалярного поля по направлению кривой от точки к точке в точке .

Решение. Найдём единичный вектор

, касательный к параболе

в точке

. (рис.32). Найдём угловой коэффициент прямой, на которой лежит вектор

. Прямая имеет угловой коэффициент

и проходит через точку

, следовательно, её уравнение

Запишем это уравнение в каноническом виде: . Вектор - направляющий вектор этой прямой, причём его направление соответствует направление на кривой от точки к точке . Соответствующий ему единичный вектор , т.е. его направляющие косинусы , .

Найдём теперь , , а тогда производная по направлению функции в точке по кривой от точки к точке будет

2.10. Найти дивергенцию векторного поля

в точке .

Решение. Вычислим частные производные в точке .

Подставляя полученные значения в формулу

, получаем:

2.11. Найти поток векторного поля из тела, ограниченного координатными плоскостями , , и плоскостью наружу по теореме Остроградского и непосредственно.

	Решение. 1-й метод решения. Вычислим поток векторного поля по теореме Остроградского. Найдём . Имеем: , , . Значит, . Следовательно, .

Поток векторного поля .

2-й метод решения. Вычислим поток векторного поля с помощью интеграла первого рода.

Имеем: , где полная поверхность тела , состоящая из четырёх частей: ; здесь , и - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности;

, , ;

Поток можно представить в виде суммы четырёх потоков:

. Вычислим каждый из потоков:

1. , , т.е.

, , , .

Следовательно, , т.к. есть поверхность .

2. , , т.е.

, , .

Таким образом: . Здесь , : , следовательно, .

3. , , т.е.

, , ,

, т.к. на поверхности .

4. .

Поверхность имеет уравнение , следовательно,

тогда . Поверхностный интеграл здесь вычисляется по верхней стороне поверхности , значит направляющие косинусы нормали будут равны:

Тогда получим

Окончательно: .

3-й метод решения. Вычислим тот же самый поток с помощью поверхностного интеграла второго рода .

В нашем случае , как и в предыдущем случае, поток представим в виде суммы четырёх потоков соответственно, через поверхности , , , :

1. На , , а значит .

2. На , . Сторона поверхности, по которой вычисляется интеграл, нижняя. Нормаль к поверхности образует тупой угол с осью Ох. Значит

3. На , , сторона поверхности нижняя и .

На .

Следовательно,

9.25 Найти ротор поля .

Решение.

= .

2.12. Вычислить циркуляцию векторного поля

	по линии пересечения конуса с координатными плоскостями, лежащей в первом октанте, непосредственно и по теореме Стокса

Решение.

1) Непосредственное вычисление циркуляции. Контур можно разбить на три части: , и , лежащие в координатных плоскостях , и соответственно, таким образом циркуляция Ц = Ц₁+Ц₂+Ц₃, где