2.1. В каждой точке поверхности 
, лежащей в первом октанте, уравнение которой 
, распределена масса с плотностью 
, где 
. Вычислить массу пластинки.
Решение. Масса вычисляется по формуле 
. Имеем:
, 
,
.
Следовательно, масса 
кв. ед.
2.2. Вычислить 
по нижней стороне поверхности , заданной уравнением 
над областью 
, ограниченной прямыми 
.
Решение.
| В соответствии с теоремой существования и принимая во внимание, что поверхностный интеграл берётся по нижней стороне поверхности
 , получим 
|
2.3. С помощью формулы Остроградского вычислить интеграл 
, где 
– часть конической поверхности 
, а 
– направляющие косинусы внешней нормали к поверхности.
Решение. Формула Остроградского применима в случае замкнутой поверхности.
Чтобы получить замкнутую поверхность, присоединим к поверхности конуса соответствующую часть плоскости 
. Обозначив эту часть плоскости через 
, по формуле Остроградского получаем:
.
Таким образом,
- 
.
Для решения задачи необходимо вычислить интегралы, стоящие в правой части. В случае области – косинусы углов с осями координат нормали к плоскости 
, а именно: 
. Поэтому
,
Так как на плоскости и двойной интеграл равен площади круга радиуса 
, получающегося при пересечении конуса плоскостью.
При вычислении интеграла по объему 
производим сначала интегрирование по 
от 
до . Затем двойной интеграл по области в плоскости 
. Эта область является кругом 
. Она получается проецированием объема на плоскость .
Таким образом,
.
Обозначая последний интеграл через 
и переходя к полярным координатам по формулам
,
находим
.
Итак, 
.
2.4. Вычислить поверхностный интеграл 
по верхней стороне полусферы
Решение: Преобразуем уравнение поверхности к виду: 
Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:
Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:
, 
2.5 Найти объем шара 
Решение: Найти объем шара можно по формуле:
2.6. С помощью формулы Стокса вычислить криволинейный интеграл
, где 
– окружность 
, пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси 
.
Решение.
В нашем случае 
, поэтому 
.
По формуле
|
|
, где – часть плоскости 
, ограниченная окружностью. Приводя уравнение окружности к нормальному виду, находим
.
Таким образом, 
, где 
– радиус круга, ограниченного указанной окружностью.
2.7. Найти частные производные функции 
Решение.
2.8. Найти частные производные второго порядка функции 
Решение. Так как 
и 
, то 
и 
. Смешанные производные 
и 
2.9. Найти производную скалярного поля 
по направлению кривой 
от точки 
к точке 
в точке 
.
| Решение. Найдём единичный вектор  , касательный к параболе в точке . (рис.32). Найдём угловой коэффициент прямой, на которой лежит вектор  :
 .
Прямая имеет угловой коэффициент  и проходит через точку , следовательно, её уравнение  .
|
Запишем это уравнение в каноническом виде: 
. Вектор 
- направляющий вектор этой прямой, причём его направление соответствует направление на кривой от точки к точке . Соответствующий ему единичный вектор 
, т.е. его направляющие косинусы 
, 
.
Найдём теперь 
, 
, а тогда производная по направлению функции в точке по кривой 
от точки к точке будет
,
.
2.10. Найти дивергенцию векторного поля
в точке 
.
Решение. Вычислим частные производные 
в точке .
,
,
.
Подставляя полученные значения в формулу
, получаем:
.
2.11. Найти поток векторного поля 
из тела, ограниченного координатными плоскостями 
, 
, 
и плоскостью 
наружу по теореме Остроградского и непосредственно.
| Решение.
1-й метод решения. Вычислим поток векторного поля по теореме Остроградского. Найдём  .
Имеем:  ,  ,  . Значит,  . Следовательно,  .
|
Поток векторного поля 
.
2-й метод решения. Вычислим поток векторного поля с помощью интеграла первого рода.
Имеем: 
, где полная поверхность тела 
, состоящая из четырёх частей: 
; здесь 
, 
и 
- направляющие косинусы внешней нормали к поверхности;
, , ;
.
Поток 
можно представить в виде суммы четырёх потоков:
. Вычислим каждый из потоков:
1. 
, 
, т.е.
, 
, 
, 
.
Следовательно, 
, т.к. 
есть поверхность .
2. 
, 
, т.е.
, 
, .
Таким образом: 
. Здесь 
, 
: , следовательно, 
.
3. 
, 
, т.е.
, , 
,
, т.к. на поверхности 
.
4. 
.
Поверхность 
имеет уравнение 
, следовательно,
,
тогда 
. Поверхностный интеграл здесь вычисляется по верхней стороне поверхности , значит направляющие косинусы нормали 
будут равны:
.
Тогда получим
.
Окончательно: 
.
3-й метод решения. Вычислим тот же самый поток с помощью поверхностного интеграла второго рода 
.
В нашем случае 
, как и в предыдущем случае, поток представим в виде суммы четырёх потоков соответственно, через поверхности , , , :
1. На , 
, а значит 
.
2. На , 
. Сторона поверхности, по которой вычисляется интеграл, нижняя. Нормаль к поверхности образует тупой угол с осью Ох. Значит
3. На , 
, сторона поверхности нижняя и 
.
4. 
.
На 
.
Следовательно,
.
9.25 Найти ротор поля 
.
Решение.
= 
.
2.12. Вычислить циркуляцию векторного поля 
| по линии пересечения конуса 
с координатными плоскостями, лежащей в первом октанте, непосредственно и по теореме Стокса
|
Решение.
1) Непосредственное вычисление циркуляции. Контур можно разбить на три части: 
, 
и 
, лежащие в координатных плоскостях 
, 
и 
соответственно, таким образом циркуляция Ц = Ц1+Ц2+Ц3 , где
Ц1= 
. На кривой 
: , 
. Следовательно, Ц1= 
. Далее
Ц2= 
. На кривой 
: 
, т.е.
Ц2= 
. И, наконец,
Ц3= 
. На кривой 
: 
, , , 
, следовательно, Ц3= 
.
Окончательно Ц = Ц1+Ц2+Ц3 = 
.
2) Вычисление циркуляции по теореме Стокса:
Ц = 
.
Подставим сюда 
, получим
Ц1= 
. Перейдём в правой части к поверхностному интегралу первого рода Ц = 
, где интеграл вычисляется по верхней стороне поверхности .
Уравнение поверхности : 
, следовательно,
, 
, 
;
; 
; 
.
Подставляя найденные значения в выражение для циркуляции, получим
Ц = 
.
Перейдём к полярным координатам:
, 
, 
,
тогда
Ц = 
.
Вычислим внутренний интеграл: 
Тогда Ц = 
.
2.13 Найти 
, если 
Решение: Найдем скалярное произведение: 
Найдем скалярное произведение:
2.14 Найти поток векторного поля 
через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости 
координатными плоскостями.
Решение:
2.15 Найти div(grad u), если 
Решение: 
2.16 Определить является ли векторное поле 
потенциальным и найти его потенциал.
Решение: 
Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия:
Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора векторного поля, справедливость этого утверждения видна из формулы ротора.
Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле:
