Тренировочные упражнения
Математика 3 сем
НГД
2015-2016
Модуль 1 Кратные, криволинейные интегралы
Кратные интегралы.
1.1. Вычислить
,
где область 
ограничена прямыми 
Решим пример двумя способами.
| Первый способ. Выполним внутреннее интегрирование по  , а внешнее по  , тогда получим
 .
Вычислим внутренний интеграл:
|
.
Подставляя найденное значение в выражение для 
, получим
.
Второй способ. Внутреннее интегрирование выполним по переменной , а внешнее - по переменной . Заметим, что при этом область мы должны разбить на две области 
и 
, следовательно, двойной интеграл выразится в виде суммы таких двух повторных интегралов:
Итак, окончательно получим 
.
1.2. Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью 
.
Искомый объём 
, где тело 
есть пирамида, ограниченная плоскостью 
и координатными плоскостями.
Очевидно, что этот тройной интеграл можно выразить шестью различными способами через трёхкратный:
| 
или
 или
|
Проведём вычисления по последней формуле, получим
.
Имеем 
.
Наконец, 
куб. ед.
1.3. Найти часть площади поверхности цилиндра 
, вырезанной из него плоскостями 
Решение.
| Цилиндр имеет образующую, параллельную оси  , а направляющей является парабола в плоскости  . Плоскости  проходят через начало координат и через ось  , а плоскость  проходит параллельно плоскости  . Они вырезают из цилиндрической поверхности некоторую часть.
|
Проекция этой части на плоскость 
представляет собой треугольник 
, который и является областью интегрирования. При переходе к повторному интегралу надо вести внутреннее интегрирование по 
, а внешнее по 
. Находим 
.
Вычисляем площадь поверхности:
.
1.4. Найти центр тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями 
Решение. Находим массу, которая при 
численно равна площади:
|  
|
Находим статические моменты пластинки:
Итак, центр тяжести имеет координаты:
.
Положение центра тяжести 
помечено на рисунке.
1.5. Вычислить
, где есть круг 
Решение. Перейдём к полярным координатам 
. В полярных координатах уравнение окружности 
при любом 
(т.е. меняется от 
до 2 
), а 
является постоянным, 
, тогда получим
Для того, чтобы расставить пределы интегрирования, достаточно выяснить, как проходят (возрастают) через область координатные линии и .
1.6. Найти объём тела, лежащего в первом октанте и ограниченного снизу конической поверхностью 
, сверху шаровой поверхностью 
, а с боков координатными плоскостями 
и 
.
Решение. Искомый объём . Перейдём к сферическим координатам
| 
Найдём уравнения конуса в сферических координатах:
 ,
|
откуда следует 
и 
. Заметим, верхняя чаша конуса имеет уравнение , а нижняя . Нетрудно убедиться, что уравнение шаровой поверхности в сферических координатах . Итак, искомый объём
.
Вычислим 
.
Окончательно 
куб. ед.
Криволинейные интегралы.
1.7. Вычислить криволинейный интеграл 
, где 
– дуга кривой 
между точками, для которых 
.
Решение. Поскольку 
, 
и на дуге кривой функция 
,
по формуле 
находим
.
1.8. Вычислить интеграл 
по одному витку винтовой линии 
Решение:
1.9. Вычислить 
, где – отрезок прямой между точками 
.
Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через точки :
, или 
.
Таким образом, получаем параметрическое уравнение прямой:
.
Точка М пробегает отрезок М1М2, когда 
изменяется от 0 до 1. Так как 
.
По формуле 
находим
.
1.10 Вычислить криволинейный интеграл 
. L – контур, ограниченный параболами 
. Направление обхода контура положительное.
Решение:
1 способ
Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и 
2 способ.
Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского – Грина.
Решение:
1.11 Вычислить криволинейный интеграл 
, если кривая АВ задана уравнением 
и 
.
Решение. Так как кривая задана явным уравнением вида 
, то используем формулу 
.
Находим 
.
1.12 Вычислить криволинейный интеграл 
, если кривая АВ задана уравнениями 
и 
.
Решение. Кривая есть часть эллипса с полуосями 3 и 2, находящаяся в первой четверти.
Используя формулу
, находим:
.
1.13 С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл второго рода 
, где – контур прямоугольника с вершинами 
. Преобразуем этот интеграл по формуле Грина
.
|  ,
 .
|
Тогда
, где область 
ограничена контуром , в данном случае - прямоугольником 
.
Вычисляем полученный двойной интеграл по прямоугольнику :
.
1.14 Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
по пути интегрирования с началом в точке 
и концом в точке 
, предварительно установив, что он не зависит от пути интегрирования.
Для данного интеграла 
.
Так как 
, то условия формулы
выполнены, т.е. 
.
Следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования. Вычислим его по отрезку прямой, проходящей через точки 
и 
. Параметрическое уравнение прямой имеет вид 
, поэтому 
. На отрезке 
, то
.
