Истечение из суживающегося сопла

Рассмотрим процесс равновесного (без трения) адиабатного истечения газа через сопло из резервуара, в котором газ имеет параметры Т₁ , p 1, v 1.Скорость газа на входе в сопло обозначим через c 1. Будем считать, что давление газа на вы­ходе из сопла р ₂ равно давлению среды, в которую вытекает газ.

Расчет сопла сводится к определе­нию скорости и расхода газа на выходе из него, нахождению площади попереч­ного сечения и правильному выбору его формы.

Скорость истечения в соответствии с уравнением (7.5)

.

Выберем достаточно большую пло­щадь входного сечения сопла, тогда c1 =0 и

где — располагаемый адиабатный теплоперепад.

Для идеального газа изменение внут­ренней энергии в адиабатном процессе вычисляется по формуле , поэтому

Тогда

(7.6)

Массовый расход газа т через сопло (кг/с) определяется из соотношения

, (7.7)

где F — площадь выходного сечения сопла.

Воспользовавшись выражениями (7.6) и (7.7), получим

. (7.8)

Из выражения (7.8) следует, что массовый расход идеального газа при истечении зависит от площади выходного сечения сопла, свойств и начальных па­раметров газа и степени его расширения (т. е. давления газа на выходе).

По уравнению (7.8) построена кри­вая 1K0.

Рисунок 7.3 - Зависимость массового расхода газа через сопло от отношения

При p 2= p 1 расход, естественно, ра­вен нулю. С уменьшением давления сре­ды p 2расход газа увеличивается и до­стигает максимального значения при . При дальнейшем уменьшении отношения значение т, рассчитан­ное по формуле (7.8), убывает и при =0 становится равным нулю.

Сравнение описанной зависимости с экспериментальными данными показа­ло, что для результаты полностью совпадают, а для они расходятся—действительный массовый расход на этом участке остает­ся постоянным (прямая KD).

Для того чтобы объяснить это рас­хождение теории с экспериментом, А. Сен-Венан в 1839 г. выдвинул гипотезу о том, что в суживающемся сопле невоз­можно получить давление газа ниже не­которого критического значения р _кр, со­ответствующего максимальному расходу газа через сопло. Как бы мы ни пони­жали давление р ₂ среды, куда происходит истечение, давление на выходе из сопла остается постоянным и равным р _кр.

Для отыскания максимума функции (при p 1=const), соответствующего значению , возьмем первую производную от выражения в квадратных скобках и при­равняем ее нулю:

откуда

. (7.9)

Таким образом, отношение критического давления на выходе к давлению перед соплом имеет постоянное значе­ние и зависит только от показателя адиа­баты, т. е. от природы рабочего тела.

Газ	1-атомный	2-атомный	3-атомный и перегретый пар
k	1,66	1,4	1,3
	0,49	0,528	0,546

Таким образом, изменение невелико, поэтому для оценочных расчетов можно принять .

Критическая скорость устанавливается в устье сопла при исте­чении в окружающую среду с давлением, равным или ниже критического. Ее мож­но определить по уравнению:

(7.10)

Величина критической скорости опре­деляется физическими свойствами и на­чальными параметрами газа.

Из уравнения адиабаты следует, что Заменяя здесь отно­шение в соответствии с уравне­нием (7.9), получаем

Подставляя значение v 1 и значение p 1в формулу , получаем . Из курса физи­ки известно, что есть скорость распространения звука в среде с параметрами и .

Таким образом, критическая ско­рость газа при истечении равна местной скорости звука в выходном сечении со­пла. Именно это обстоятельство объяс­няет, почему в суживающемся сопле газ не может расшириться до давления, меньшего критического, а скорость не может превысить критическую.

Действительно, как известно из фи­зики, импульс давления (упругие колеба­ния) распространяется в сжимаемой сре­де со скоростью звука, поэтому когда скорость истечения меньше скорости зву­ка, уменьшение давления за соплом пе­редается по потоку газа внутрь канала с относительной скоростью c+a и приводит к перераспределению дав­ления (при том же значении давле­ния газа p 1перед соплом). В результате в выходном сечении сопла устанавлива­ется давление, равное давлению среды.

Если же скорость истечения достиг­нет скорости звука (критической скоро­сти), то скорость движения газа в вы­ходном сечении и скорость распростране­ния давления будут одинаковы. Волна разрежения, которая возникает при дальнейшем снижении давления среды за соплом, не сможет распространиться против течения в сопле, так как относи­тельная скорость ее распространения (а — с) будет равна нулю. Поэтому ни­какого перераспределения давлений не произойдет и, несмотря на то, что давле­ние среды за соплом снизилось, скорость истечения останется прежней, равной скорости звука на выходе из сопла.

Максимальный секундный рас­ход газа при критическом значе­нии можно определить из урав­нения (7.8), если в него подставить . Тогда

(7.11)

Максимальный секундный расход оп­ределяется состоянием газа на входе в сопло, величиной выходного сечения сопла и показателем адиабаты газа, т. е. его природой.

Все приведенные соотношения при­ближенно справедливы и для истечения из непрофилированных специально сопл, например из отверстий в сосуде, находя­щемся под давлением. Скорость истече­ния из таких отверстий не может превы­сить критическую, определяемую форму­лой (7.11), а расход не может быть больше определяемого при лю­бом давлении в сосуде. (Из-за больших потерь на завихрения в этом случае рас­ход вытекающего газа будет меньше рас­считанного по приведенным формулам).

Чтобы получить на выходе из сопла сверхзвуковую скорость, нужно придать ему специальную форму, что видно из следующего параграфа.